(新高考)高考数学一轮复习学案6.4《数系的扩充与复数的引入》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案6.4《数系的扩充与复数的引入》(含详解)，共12页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

第4讲　数系的扩充与复数的引入


一、知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
(4)|z|2＝||2＝z·.
二、教材衍化
1．计算＋2i＝______．
答案：i
2．复数z＝(x＋1)＋(x－2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限，则x的取值范围为______．
答案：(－1，2)
3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.
答案：－1

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)复数相等概念把握不牢固致误；
(2)对复数的几何意义理解有误；
(3)复数的分类把握不准导致出错．
1．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D．由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D．
2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C．因为A(6，5)，B(－2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C．
3．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于______．
解析：因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.
答案：2

考点一　复数的有关概念(基础型)
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
核心素养：数学抽象
1．(2019·高考全国卷Ⅰ )设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
解析：选C．法一：z＝＝＝，
故|z|＝||＝＝.故选C．
法二：|z|＝||＝＝＝.故选C．
2．(2020·郑州市第一次质量预测)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选C．因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得a＝，故选C．
3．(2020·安徽省考试试题)是z＝的共轭复数，则的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C．z＝＝＝＝－＋i，则＝－－i，所以的虚部为－，故选C．
4．(2020·山西八校第一次联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝，则a＋b等于(　　)
A．－9 B．5
C．13 D．9
解析：选A．由3－4i3＝得，3＋4i＝，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则解得故a＋b＝－9.故选A．

解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
考点二　复数的几何意义(基础型)
了解复数的代数表示法及其几何意义．
核心素养：直观想象
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C．通解：因为z在复平面内对应的点为(x，y)，
所以z＝x＋yi(x，y∈R)．
因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，
所以x2＋(y－1)2＝1.故选C．
优解一：因为|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C．
优解二：在复平面内，点(1，1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1，1)不在选项A，D的圆上，所以排除A，D；在复平面内，点(0，2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0，2)不在选项B的圆上，所以排除B．故选C．
2．已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B．＝＝，其共轭复数为－＋i，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B．
3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝(　　)
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
解析：选A．因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.
4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1，2)，
＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ得
(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以解得所以λ＋μ＝1.
答案：1

复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　
考点三　复数代数形式的运算(基础型)
能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
核心素养：数学运算
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选D．z＝＝＝＝1＋i.
2．(2020·新疆乌鲁木齐一模)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．2＋2i B．2－2i
C．2i D．－2i
解析：选B．因为z＝1＋i，所以＝＝＝＝2－2i.故选B．
3．若复数z满足2z＋z·＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z为(　　)
A．－1－i B．－1－2i
C．－1＋2i D．1－2i
解析：选B．设z＝a＋bi⇒2(a＋bi)＋(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＋2a＋2bi＝3－4i⇒a＝－1，b＝－2⇒z＝－1－2i.
4．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　)
A．1 B．0
C．1＋i D．1－i
解析：选D．z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
则有a2－1＝0，a＋1≠0，
得a＝1，
则有＝＝＝1－i.

复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C．由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．
2．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A．因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0且－≠0，解得a＝－2.故选A．
3．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选B．法一：因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B．
法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i＝2，解得a＝1，b＝－1，所以复数z的虚部为－1.故选B．
4．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选B．由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以＝1－i，故选B．
5．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)
A．－7 B．7
C．－4 D．4
解析：选A．因为＝1＋＋＝－3－4i，
所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，
所以a＋b＝－7，故选A．
6．已知i为虚数单位，则＝(　　)
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
解析：选A．法一：＝＝5，故选A．
法二：＝＝＝5，故选A．
7．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
解析：选C．因为z＝＝＝1＋i，所以|z|＝.故选C．
8．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
解析：选A．法一：由题意可知＝a－i，所以z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
9．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝(　　)
A．1＋3i B．1－3i
C．－1＋3i D．－1－3i
解析：选C．因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，＝＝＝＝＝1－i，则z2－＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C．
10．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)
A．－4 B．－
C．4 D．
解析：选D．因为|4＋3i|＝＝5，所以z＝＝＝＝＋i，所以z的虚部为.
11．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)
A．1＋i B．＋i
C．1＋i D．1＋i
解析：选B．因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B．
12．(多选)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，z2＋|z|＝0且|z|≠0，则(　　)
A．|z|＝1 B．z＝1－i
C．z＝±i D．z＝1
解析：选ACD．由z2＋|z|＝0且|z|≠0，得|z|＝－z2，|z|＝|z2|，故|z|＝1，即x2＋y2＝1.所以x2－y2＋2xyi＋＝0，故当x＝0时，y2＝1，则y＝±1，所以z＝±i；当y＝0时，无解．
13．设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________．
解析：复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.
答案：－i
14．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．
解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.
答案：－5
15．当复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小时，＝________．
解析：|z|＝
＝＝，
所以当m＝－1时，|z|min＝2，
所以＝＝＝－1＋i.
答案：－1＋i
16．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．
解析：因为z1＝1－i，z2＝4＋6i，所以＝＝＝＝－1＋5i.因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，则|z|＝.
答案：－1＋5i　
[综合题组练]
1．(创新型)若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩∁RB为(　　)
A．∅
B．{0}
C．{x|－2 D．{x|－2 解析：选D．由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci⇔解得因此A＝{x|－2 2．(多选)在复平面内，下列命题是真命题的是(　　)
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R
解析：选AD．A．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，若∈R，则b＝0，所以z＝a∈R，故A为真命题；
B．若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，故B为假命题；
C．若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故C为假命题；
D．若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，＝z∈R，故D为真命题．
3．(应用型)(2020·成都第二次诊断性检测)若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是________．

解析：因为(x－2)＋yi是虚数，
所以y≠0，
又因为|(x－2)＋yi|＝，
所以(x－2)2＋y2＝3.
因为是复数x＋yi对应点的斜率，
所以＝tan∠AOB＝，
所以的最大值为.
答案：
4．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________．
解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 018＝4×504＋2，
所以z＝＝＝
＝＝＝i，对应的点的坐标为(0，1)．
答案：(0，1)
5．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.
6．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝＋i.
因为z＋是实数，所以b－＝0.
又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①　　　　　　　　
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
所以a＋3＋b＝0.②　　　　　　　　
由①②得
解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.