(新高考)高考数学一轮复习学案11.3《概率与统计中的数学建模与数据分析》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案11.3《概率与统计中的数学建模与数据分析》(含详解)，共17页。

第3讲　概率与统计中的数学建模与数据分析
概率统计中的创新性问题是高考的命题重点，不仅注重模块知识内的综合，也注重模块知识间的综合，更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查．命题的重点有：
(1)考查数学建模核心素养，以实际生活中的环保、民生、科技等为背景，考查函数、数列等模型的建立，其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点．
(2)考查数据分析核心素养，常考查对数据的搜集与归类，并利用不同的特征值对研究对象做出理性的判断．

考点一　图表与概率交汇(应用型)
甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元．
(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；
(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如图所示的条形图．若记甲公司的推销员的日工资为X，乙公司的推销员的日工资为Y，将频率视为概率．若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．

【解】　(1)由题意得，甲公司一名推销员的日工资y(单元：元)与日销售件数n的函数关系式为y＝80＋n，n∈N.
乙公司一名推销员的工资y(单元：元)与销售件数n的函数关系式为
y＝
(2)由条形图可得X的分布列如下
X
122
124
126
128
130
P
0.2
0.4
0.2
0.1
0.1
由条形图可得Y的分布列如下
Y
120
128
144
160
P
0.2
0.3
0.4
0.1
易得E(X)＝122×0.2＋124×0.4＋126×0.2＋128×0.1＋130×0.1＝125，
E(Y)＝120×0.2＋128×0.3＋144×0.4＋160×0.1＝136.
因为E(X)＜E(Y)，
所以仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司更好．

统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”
破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化．　
　(2020·郑州市第一次质量预测)2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
(2)下表为2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．
组数
分组
天数
第一组
[50，80)
3
第二组
[80，110)
4
第三组
[110，140)
4
第四组
[140，170)
6
第五组
[170，200)
5
第六组
[200，230)
4
第七组
[230，260)
3
第八组
[260，290)
1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．
解：(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2＋114×5＋2x＝118×9，解得x＝172.
即重度污染区AQI的平均值为172.
(2)①由题意知，AQI在[170，180)内的天数为1，
由题表可知，AQI在[50，170)内的天数为17，故11月份AQI小于180的天数为1＋17＝18，
又＝，则该校周日去进行社会实践活动的概率为.
②由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P




数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
考点二　图表与独立性检验相交汇(应用型)
某种常见疾病可分为Ⅰ，Ⅱ两种类型．为了了解所患该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄(单位：岁)(以下简称初次患病年龄)的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其所患疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据．
初次患
病年龄
甲地Ⅰ型疾
病患者/人
甲地Ⅱ型疾
病患者/人
乙地Ⅰ型疾
病患者/人
乙地Ⅱ型疾
病患者/人
[10，20)
8
1
5
1
[20，30)
4
3
3
1
[30，40)
3
5
2
4
[40，50)
3
8
4
4
[50，60)
3
9
2
6
[60，70]
2
11
1
7
(1)从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；
(2)记“初次患病年龄在[10，40)内的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[40，70]内的患者”为“高龄患者”．根据表中数据，解决以下问题．
①将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与所患疾病的类型有关联的可能性更大．(直接写出结论，不必说明理由)
表一
　　　　　疾病类型
患者所在地域　　　　
Ⅰ型
Ⅱ型
总计
甲地



乙地



总计


100
表二
　　　　　疾病类型
初次患病年龄　　　　
Ⅰ型
Ⅱ型
总计
低龄



高龄



总计


100
②记①中与所患疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X.问：是否有99.9%的把握认为所患疾病的类型与X有关？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【解】　(1)依题意，甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者共40人，甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者初次患病年龄小于40岁的人数分别为15，10，则从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率的估计值为＝.
(2)①填空结果如下．
表一
　　　　　疾病类型
患者所在地域　　　　
Ⅰ型
Ⅱ型
总计
甲地
23
37
60
乙地
17
23
40
总计
40
60
100
表二
　　　　　疾病类型
初次患病年龄　　　　
Ⅰ型
Ⅱ型
总计
低龄
25
15
40
高龄
15
45
60
总计
40
60
100
“初次患病年龄”与所患疾病的类型有关联的可能性更大．
②由①可知X为初次患病年龄，根据表二中的数据可得a＝25，b＝15，c＝15，d＝45，n＝100，
则K2的观测值k＝≈14.063，
14．063＞10.828，
故有99.9%的把握认为所患疾病类型与初次患病年龄有关．

本题的易错点有三处：一是审题不认真，误认为甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者的总数为100，错误列式＝0.25；二是不能从频数分布表中获取相关数据，无法正确填写列联表，不能根据列联表中数据的含义做出正确判断；三是代错公式或计算错误，从而导致统计判断出错．　
　(2020·洛阳市统考)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴乙市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：
　　组别
年龄　　
A组统计结果
B组统计结果
经常使用单车
偶尔使用单车
经常使用单车
偶尔使用单车
[15，25)
27人
13人
40人
20人
[25，35)
23人
17人
35人
25人
[35，45]
20人
20人
35人
25人
(1)先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去，
①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券)．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；
(2)从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到m岁有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为100×＝20，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为20×＝9.
②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故其分布列为
X
0
1
2
3
P




所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表

经常使用单车
偶尔使用单车
合计
未达到35岁
125
75
200
达到35岁
55
45
100
合计
180
120
300
m＝35时，可求得K2的观测值
k1＝＝＝.
按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表

经常使用单车
偶尔使用单车
合计
未达到25岁
67
33
100
达到25岁
113
87
200
合计
180
120
300
m＝25时，可求得K2的观测值
k2＝＝＝，
所以k2＞k1.
欲使犯错误的概率尽可能小，需取m＝25.
考点三　图表与线性回归分析相交汇(应用型)
某商店为迎接端午节，推出花生粽与肉粽两款粽子．为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续10天记录了这两款粽子的销售量，用1，2，…，10分别表示第1，2，…，10天，记录结果得到频数分布表如图所示(其中销售量单位：个)．
序号
销售量　 　
类型　　　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
花生粽
103
93
98
93
106
86
87
84
91
99
肉粽
88
97
98
95
101
98
103
106
102
112
(1)根据表中数据完成所示的茎叶图：

(2)根据统计学知识，请判断哪款粽子更受欢迎；
(3)求肉粽销售量y关于序号t的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量．(回归方程的系数精确到0.01)．
参数数据： (ti－)(yi－)＝156.
参考公式：回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
【解】　(1)根据所给数据完成茎叶图如图所示．

(2)法一：由(1)中茎叶图可知，肉粽的销售量均值比花生粽高，两款粽子的销售量波动情况相当，所以可以认为肉粽更受欢迎．
法二：由题意得花生粽的销售量的均值1＝95＋×(8－2＋3－2＋11－9－8－11－4＋4)＝94，
肉粽的销售量的均值2＝100＋×(－12－3－2－5＋1－2＋3＋6＋2＋12)＝100.
因为94＜100，所以1＜2，即肉粽的销售量的均值较花生粽高，所以可以认为肉粽更受欢迎．
(3)由题中数据可得＝， (ti－)2＝×(92＋72＋52＋32＋12)×2＝，
所以＝≈1.89，＝100－1.89×≈89.61.
故肉粽销售量y关于序号t的线性回归方程为＝1.89t＋89.61.
当t＝15时，＝1.89×15＋89.61≈118，
所以预估第15天肉粽的销售量为118个．

破解此类频数分布表、茎叶图、线性回归相交汇的开放性问题的关键：一是会制图，即会根据频数分布表，把两组数据填入茎叶图中；二是会对开放性问题进行转化，如本题，把判断哪款粽子更受欢迎，转化为判断哪款粽子的销售量均值更高；三是熟练掌握求线性回归方程的步骤，求出，，即可写出线性回归方程．　
　(2020·广东省七校联考)下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：yi＝10.97，tiyi＝47.36，＝0.664，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝＝，回归方程＝＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得＝4， (ti－)2＝28，＝0.664，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝47.36－4×10.97＝3.48，故r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，所以说明y与t的线性相关程度相当高．
(2)由＝≈1.567及(1)得＝＝≈0.124，
＝－≈1.567－0.124×4≈1.07.
所以，y关于t的回归方程为＝1.07＋0.12t.
将2018年对应的t＝9代入回归方程得＝1.07＋0.12×9＝2.15.
所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为2.15亿吨．
考点四　图表与正态分布相交汇(应用型)
(2020·武汉市调研测试)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋斗拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐渐增加．
为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千无)并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：
(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式
≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解】　(1)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．
(2)由题意，X～N(17.40，6.92)．
(ⅰ)P(X＞μ－σ)≈＋≈0.841 4，
μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，
即最低年收入大约为14.77千元．
(ⅱ)由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋≈0.977 3，得每位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，
记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则
ξ～B(103，p)，其中p＝0.977 3，
于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，
从而由＝＞1，得k＜1 001p，
而1 001p＝978.277 3，所以，
当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)＜P(ξ＝k)，
当979≤k≤1 000时，P(ξ＝k－1)＞P(ξ＝k)，
由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.

正态分布下的概率计算常见的两类问题
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．　
　(2020·河北衡水联考)按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合的条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间[－0.081，0.081]内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布．现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：
2.72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7　2.8
(1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s；
(2)①利用(1)中求的平均数，标准差s，估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布N(0，0.040 52)，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少？(附：若随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜x≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)≈0.997.0.95410用0.624 4，0.99710用0.970 4分别代替计算)
解：(1)＝×(0.02－0.02＋0＋0.05－0.04＋0－0.1－0.01＋0＋0.1)＝0.
s2＝×(0.022×2＋0.052＋0.042＋0.012＋0.12×2)＝0.002 5，
所以s＝0.05.
(2)①由(1)中计算得μ＝0，σ＝0.05，
所以P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)＝P(0－2×0.05＜x＜0＋2×0.05)＝P(－0.1＜x＜0.1)．
因为在－0.1＜x＜0.1内包括了所有的合格产品，也包括了不合格的产品，而P(－0.1＜x＜0.1)≈0.954＜0.96，
所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%.
②因为产品重量的误差服从正态分布N(0，0.040 52)，
所以μ＝0，σ＝0.040 5.
又μ－2σ＜x＜μ＋2σ即为－0.081＜x＜0.081，
所以每件产品合格的概率P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)≈0.954，
所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为1－0.95410≈1－0.624 4＝0.375 6.

[基础题组练]
1．(2020·石家庄市模拟(一))东方商店欲购进某种食品(保质期一天)，此商店每天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品100天的销售量如下表：
销售量/份
15
16
17
18
19
20
天数
10
20
30
20
10
10
(1)根据该食品100天的销售量统计表，求平均每天销售多少份；
(2)视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？
解：(1)平均每天销售的份数为
＝17.3.
(2)当购进17份时，利润为
17×4×＋(16×4－8)×＋(15×4－16)×＝47.6＋11.2＋4.4＝63.2(元)．
当购进18份时，利润为
18×4×＋(17×4－8)×＋(16×4－16)×＋(15×4－24)×＝28.8＋18＋9.6＋3.6＝60(元)．
63．2＞60，
可见，当购进17份时，利润更大．
2．(2020·江西八所重点中学联考)2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点，某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：

不应下“禁奥令”
应下“禁奥令”
合计
男生

5

女生
10


合计


50
若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．
(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由；
(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考公式与数据：K2＝
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解：(1)由题意将列联表补充如下

不应下“禁奥令”
应下“禁奥令”
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
所以K2＝＝≈8.333＞6.635，
所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．
(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1，2，3，4.
P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝＝；
P(ξ＝4)＝＝＝.
所以ξ的分布列是
ξ
1
2
3
4
P




所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.4.
3．(2020·山东枣庄二调)某项研究性课题由一个团队完成，团队由一个主持人和若干个助手组成，助手分固定和临时两种，每个固定助手的工资为3 000元/月，当固定助手人手不够时，需要招聘临时助手，每个临时助手的工资为4 000元/月，现在搜集并整理了以往的20个团队需要的助手数，得到如图柱状图．

记n为提供给一个团队的固定助手数(提供的每个固定助手均按3 000元/月的标准支付工资)．x为一个团队需要的助手数，y为支付给一个团队的助手的月工资总额(单位：元)．
(1)当n＝4时，求y关于x的函数关系式；
(2)假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手，分别计算这20个团队每月支付给助手的工资总额，以此作为决策依据，判断每一个团队提供4个固定助手划算还是提供5个固定助手划算．
解：(1)当n＝4时，x≤4时，y＝4×3 000＝12 000，
4＜x≤6时，y＝12 000＋4 000(x－4)＝4 000x－4 000，
所以当n＝4时，y关于x的函数关系式为
y＝
(2)由题意得每个团队需要的助手个数X分别为3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝0.1，P(X＝4)＝＝0.2，P(X＝5)＝＝0.3，P(X＝6)＝＝0.4.
当每一个团队提供4个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额
Y1＝20×[(0.1＋0.2)×12 000＋0.3×(4 000×5－4 000)＋0.4×(4 000×6－4 000)]＝328 000(元)．
当每一个团队提供5个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额
Y2＝20×[(0.1＋0.2＋0.3)×15 000＋0.4×(15 000＋4 000)]＝332 000(元)．
所以Y1＜Y2，所以每一个团队提供4个固定助手划算．
4．(2020·济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)求a，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值；
(2)①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布N(μ，102)，计算该批产品该项指标值落在(180，220]上的概率；
②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、 优良、优秀三个等级，其中(180，220]为优良，不高于180为合格，高于220为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单元：元)如表，求该公司每万盒的平均利润．
等级
合格
优良
优秀
售价
10
20
30
附：若ξ～N(μ，δ2)，则P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)≈0.682 7，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)≈0.954 5.
解：(1)由10×(2×0.002＋0.008＋0.009＋0.022＋0.024＋a)＝1，解得a＝0.033，
则平均值＝10×0.002×170＋10×0.009×180＋10×0.022×190＋10×0.033×200＋10×0.024×210＋10×0.008×220＋10×0.002×230＝200，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.
(2)①由题意可得μ＝＝200，δ＝10，则P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝P(180＜ξ≤220)≈0.9545，则该批产品指标值落在(180，220]上的概率为0.954 5.
②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为
X
10
20
30
P
0.022 75
0.954 5
0.022 75
则每盒该产品的平均售价为E(X)＝10×0.022 75＋20×0.954 5＋30×0.022 75＝20，故每万盒的平均利润为20－15＝5(万元)．
5．(2020·河南新乡三模)以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：

(1)计算该炮兵连这8周中总的命中频率p0，并确定第几周的命中频率最高；
(2)以(1)中的p0作为该炮兵连甲炮兵对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射5次，记命中的次数为X，求X的方差；
(3)以(1)中的p0作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99.
(取lg 0.4＝－0.398)
解：(1)这8周总命中炮数为40＋45＋46＋49＋47＋49＋53＋52＝381，总未命中炮数为32＋34＋30＋32＋35＋33＋30＋28＝254，所以p0＝＝0.6.
因为＞，所以根据表中数据易知第8周的命中频率最高．
(2)由题意可知X～B(5，0.6)，
则D(X)＝5×0.6×(1－0.6)＝1.2.
(3)由1－(1－p0)n＞0.99，
即1－0.4n＞0.99，得0.4n＜0.01，
所以n＞log0.4 0.01＝＝－＝≈5.025，
故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99.
6．(2020·河北衡水中学模拟)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，对测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1，2…，10)数据作了初步处理，得到如下散点图及一些统计量的值．




1 (Ii－)
(Wi－)2
(Ii－I)(Di－)
(Wi－)(Di－)
1.04×10－11
45.7
－11.5
1.56×10－21
0.51
6.88×10－11
5.1
表中Wi＝lg Ii，＝Wi，
(1)根据散点图判断，D＝a1＋b1I与D＝a2＋b2lg I哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；
(3)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.
已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P是否受到污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据(μ1，v1)，(μ2，v2)，…，(μ1n，vn)，其回归直线＝＋μ的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解：(1)根据散点图判断，模型D＝a2＋b2lg I更适合．
(2)令Wi＝lg Ii，先建立D关于W的线性回归方程，
由于＝＝＝10，
所以＝－＝160.7，
所以D关于W的线性回归方程是＝10W＋160.7，
即D关于I的回归方程是＝10lg I＋160.7.
(3)点P的声音能量为I＝I1＋I2，
因为＋＝1010，
所以I＝I1＋I2＝10－10(I1＋I2)＝10－10≥9×10－10，
当且仅当＝时等号成立．
根据(1)中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为min＝10lg(9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7＞60，
所以点P会受到噪声污染的干扰．