(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习3.1《函数及其表示》(含详解)

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[基础题组练]1．函数y＝的定义域为(　　)A．(1，＋∞)  B．[1，＋∞)C．(1，2)∪(2，＋∞)  D．(1，2)∪[3，＋∞)解析：选C．由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)A．－   B．  C．  D．－解析：选B．令t＝x－1，则x＝2t＋2，所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.3．(多选)下列四组函数中，f(x)与g(x)是相等函数的是(　　)A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln xB．f(x)＝x，g(x)＝()2C．f(x)＝x，g(x)＝D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)解析：选CD．对于选项A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项C，g(x)＝＝x，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．4．已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)A．－2  B．4 C．2  D．－4解析：选B．由题意得f＝2×＝.f＝f＝f＝2×＝.所以f＋f＝4.5．(多选)函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)A．f(x)＝f  B．－f(x)＝fC．＝f  D．f(－x)＝－f(x)解析：选AD．根据题意得f(x)＝，所以f＝＝，所以f(x)＝f；f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)．故AD正确，BC错误．6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是(　　)A．[1，2]  B．(－1，1]C．  D．(－1，0)解析：选D．由f(2x－1)的定义域是[0，1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，所以函数f(x)的定义域是[－1，1]，所以要使函数有意义，需满足解得－1<x<0.7．(创新型)定义a⊕b＝设函数f(x)＝ln x⊕x，则f(2)＋f＝(　　)A．4ln 2  B．－4ln 2 C．2  D．0解析：选D．2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为×ln<0，所以f＝＝－2ln 2.则f(2)＋f＝2ln 2－2ln 2＝0.8．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)A．|x|＝x|sgn x|  B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgn x  D．|x|＝xsgn x解析：选D．当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D．9．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝答案：f(x)＝10．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－311．设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．解析：因为f(2)＝，所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.当x>1时，f(x)∈(0，1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞)．答案：－　[－3，＋∞)12．设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．答案：0　(－∞，0)∪(e，＋∞)[综合题组练]1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为(　　)A．1  B．2 C．3  D．4解析：选B．①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B．2．(创新型)设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则(　　)A．(f·f)(x)＝f(x)  B．(f·g)(x)＝f(x)C．(g·f)(x)＝g(x)  D．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A．对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A．3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f(x)＝则f(x＋1)－9≤0的解集为________．解析：因为f(x)＝所以当x＋1≤0时，解得－4≤x≤－1；当x＋1>0时，解得x>－1.综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．答案：[－4，＋∞)4．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.其中是“美丽函数”的序号有________．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③