(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习3.5《指数与指数函数》(含详解)

[基础题组练]

1．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　)

A．为增函数  B．为减函数

C．先增后减  D．先减后增

解析：选A．由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数．

2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)

A．M＝N  B．M≤N

C．M<N  D．M>N

解析：选D．因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D．

3．(多选)已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是(　　)

A．y＝＋2  B．y＝|x－2|＋1

C．y＝log2(2x)＋1  D．y＝2x－1

解析：选ABC．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点．

4．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)

解析：选B．由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0<a<1.因为函数y＝kx＋a的图象与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1<k<0.函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移－k个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，选B．

5．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)

A．偶函数，在[0，＋∞)内单调递增

B．偶函数，在[0，＋∞)内单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

解析：选C．易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C．

6．函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．

解析：因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0，1)．

答案：(0，1)

7．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．

解析：由f(1)＝得a2＝.

又a>0，所以a＝，

因此f(x)＝.

因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．

答案：[2，＋∞)

8．设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________．

解析：由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，

又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.

则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，

故g(a)>g(1)＝g(b－1)．

答案：g(a)>g(b－1)

9．已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

解：(1)由已知得＝2.

解得a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝，

又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝，

所以－－2＝0，

令＝t，则t>0，t2－t－2＝0，

即(t－2)(t＋1)＝0，

又t>0，故t＝2，即＝2.解得x＝－1，

故满足条件的x的值为－1.

10．已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．

解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的，

因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，

单调递减区间是(0，＋∞)．

(2)由于f(x)的最大值是，

且＝，

所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.

[综合题组练]

1．(创新型)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)

A．K的最大值为0  B．K的最小值为0

C．K的最大值为1  D．K的最小值为1

解析：选D．根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D．

2．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A．a<0，b<0，c<0 

B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c 

D．2a＋2c<2

解析：选D．

作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

因为a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，

结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，

所以0<2a<1.

所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

所以f(c)<1，所以0<c<1.

所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又因为f(a)>f(c)，

所以1－2a>2c－1，

所以2a＋2c<2，故选D．

3．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)函数y＝(x∈R)的值域为________．

解析：y＝＝＝1－，

因为2x>0，所以1＋2x>1，

所以0<<1，－1<－<0，0<1－<1，即0<y<1，所以函数y的值域为(0，1)．

答案：(0，1)

4．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为8，最小值为m.若函数g(x)＝(3－10m)是单调递增函数，则a＝________．

解析：根据题意，得3－10m>0，解得m<；

当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上单调递增，

最大值为a2＝8，解得a＝2，最小值为m＝a－1＝＝>，不合题意，舍去；

当0<a<1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上单调递减，最大值为a－1＝8，解得a＝，最小值为m＝a2＝<，满足题意．综上，a＝.

答案：

5．(2020·福建养正中学模拟)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax(－3≤x≤3)．

(1)若g(x)在[－3，3]上是单调函数，求a的取值范围；

(2)当a＝－1时，求函数y＝f(g(x))的值域．

解：(1)g(x)＝(x＋a)2－a2图象的对称轴为直线x＝－a，因为g(x)在[－3，3]上是单调函数，所以－a≥3或－a≤－3，即a≤－3或a≥3.故a的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．

(2)当a＝－1时，f(g(x))＝2x2－2x(－3≤x≤3)．

令u＝x2－2x，y＝2u.

因为x∈[－3，3]，所以u＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1，15]．

而y＝2u是增函数，所以≤y≤215，

所以函数y＝f(g(x))的值域是.

6．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

即＝0，

解得b＝1，

所以f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，

解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

故k的取值范围为.