(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习5.2《同角三角函数的基本关系与诱导公式》(含详解)

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[基础题组练]1．计算：sin ＋cos ＝(　　)A．－1  B．1 C．0   D．－解析：选A．原式＝sin＋cos＝－sin ＋cos＝－－cos ＝－－＝－1.2．(多选)(2021·预测)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)A．cos(A＋B)＝cos C  B．sin(A＋B)＝－sin CC．cos＝sin  D．sin＝cos解析：选CD．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin ，sin＝sin＝cos.3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)A．－  B．－  C．   D．解析：选D．因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝，因为|θ|＜，所以θ＝.4．已知f(α)＝，则f＝(　　)A．   B．  C．  D．－解析：选A．f(α)＝＝＝＝cos α，则f＝cos＝.5．已知sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为(　　)A．－1  B．－2  C．  D．2解析：选D．因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝.所以tan α＋＝＋＝＝2.故选D．6．设α是第三象限角，tan α＝，则cos(π－α)＝________．解析：因为α为第三象限角，tan α＝，所以cos α＝－，所以cos(π－α)＝－cos α＝.答案：7．已知sincos＝，且0＜α＜，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.因为0＜α＜，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.答案：　8．化简＝________．解析：原式＝＝＝＝＝1.答案：19．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝＝－cos α.(2)因为cos(α－)＝，所以－sin α＝，从而sin α＝－.又α为第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以f(α)＝－cos α＝.10．是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.所以sin2α＝，所以sin α＝±.因为α∈，所以α＝±.当α＝时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝，β＝满足条件．[综合题组练]1．已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)A．3  B．－4  C．  D．－解析：选D．由题意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.故选D．2．A＝{sin α，cos α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cos2 018α＝(　　)A．0  B．1 C．－1  D．±1解析：选C．当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A＝{sin α，0，1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.3．若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．解析：|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝，所以|sin 2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－×＝.答案：4．若k∈Z时，的值为________．解析：当k为奇数时，＝＝－1；当k为偶数时，＝＝－1.答案：－15．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ.由条件知sin θ＋cos θ＝，故＋＝.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.(3)由得或又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.6．在△ABC中，(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，所以cos＝cos＝sin ，所以cos2＋cos2＝1.(2)若cossintan(C－π)＜0，所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，即sin Acos Btan C＜0.因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，所以或所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．