(新高考)高考数学二轮专项复习(八)《解析几何减少运算量的常见技巧》(含详解)

解析几何减少运算量的常见技巧

技巧一　巧用平面几何性质

已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．  D．

【解析】　设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．

【答案】　A

此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．　

技巧二　设而不求，整体代换

对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．

已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为(　　)

A．＋＝1  B．＋＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

【解析】　通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，

①－②得＋＝0，

所以kAB＝＝－＝.

又kAB＝＝，所以＝.

又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，

所以椭圆E的标准方程为＋＝1.

优解：由kAB·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，

又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，

所以椭圆E的标准方程为＋＝1.

【答案】　D

本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．　

技巧三　巧用“根与系数的关系”，化繁为简

某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．

已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆M，N两点．

(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

【解】　(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.

解得x1＝－2，x2＝－，所以M.

(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程

化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

则xA＋xM＝，又xA＝－2，

则xM＝－xA－＝2－＝.

同理，可得xN＝.

由(1)知若存在定点，则此点必为P.

证明如下：

因为kMP＝＝＝，

同理可计算得kPN＝.

所以直线MN过x轴上的一定点P.

本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出xM＝，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．　

技巧四　巧妙“换元”减少运算量

变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．

如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．

【解】　(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．

由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，

即a＝2b，可得c＝b①.

S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.

将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.

由消去y，

得x2＋2kmx＋m2－1＝0.

由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.

将③代入④中，得|x1－x2|2＝，

故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.

故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.

令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得

S＝2＝

＝＝

＝＝，

所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.

破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．