(新高考)高考数学二轮专项复习(五)《求解平面向量问题的五大策略》(含详解)

求解平面向量问题的五大策略

平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算，在解题中既可以按照几何的思路处理，也可以通过运算解决问题，解平面向量的题目有一些策略，用好这些策略可以顺利地解决问题．

策略一　用好共线向量定理及其推论

在△ABC中，＝2a，＝3b，设P为△ABC内部及其边界上任意一点，若＝λa＋μb，则λμ的最大值为__________．

【解析】　过点P作BC平行线，交AB，AC于点M，N，设＝t，则有＝t＋(1－t)(0≤t≤1)，设＝m，则有＝m(0≤m≤1)，所以＝tm＋(1－t)m，

所以＝2tma＋3(1－t)mb，所以所以λ≥0，μ≥0，3λ＋2μ＝6m≤6，由3λ＋2μ≥2得2≤6，所以λμ≤，λμ的最大值为.

【答案】　

(1)A，B，C三点共线时，一定存在实数λ，使得＝λ或＝λ等；

(2)A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得＝t＋(1－t)·或＝λ＋μ，λ＋μ＝1.　

策略二　用好平面向量基本定理

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)

A．a＋b　　　　　　　　 B．a＋b

C．a＋b   D．a＋b

【解析】　如图，

E为OD中点，

则BE＝3DE.因为AB∥CD，

则＝3，－＝3－3，

－＋＝3－3(－)，

3＝－＋＋3×＋3×，

3＝2＋，则＝＋，

即＝a＋b.故选B．

【答案】　B

平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1，e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的，即若λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则必有λ1＝μ1，λ2＝μ2.这样，平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．

策略三　用好向量的坐标表示

(1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________．

(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为CD的中点，若N为该菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为______________．

【解析】　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(2，0)．

设B(0，b)，b>0，则C(1，b)．

因为∠ACD＝90°，

所以·＝0，即(1，b)·(－1，b)＝0，解得b＝1，所以B(0，1)，C(1，1)．

设P(x，y)，＝λ(0≤λ≤1)，

则(x－2，y)＝λ(－1，1)，

得x＝2－λ，y＝λ，

即P(2－λ，λ)．

|＋3|＝|(λ－2，－λ)＋3(λ－2，1－λ)|

＝|(4λ－8，3－4λ)|

＝

＝，0≤λ≤1，

根据二次函数性质，上式当λ＝1时取最小值，故其最小值为＝.

(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，C(3，)，D(1，)，M(2，)，设N(x，y)，则

·＝2x＋y，其中(x，y)所在的区域即为菱形及其内部的区域．设z＝2x＋y，则的几何意义是直线系z＝2x＋y在y轴上的截距，结合图形可知，在点C处目标函数取得最大值，最大值为2×3＋×＝9.

【答案】　(1)　(2)9

向量坐标化后，所有的问题均可以通过计算求解，这种方法对难度较大的平面向量试题非常有用．　

策略四　用好两向量垂直的条件

设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的(　　)

A．外心　　　　　　　　　 B．内心

C．重心  D．垂心

【解析】　·(－)＝

－＋－.

在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，则上式即为

－＋－

＝.

根据正弦定理，上式的分子为

2R(sin Ccos C－sin Bcos B＋sin Ccos Acos B－sin Bcos Acos C)

＝2R

＝2R

＝2R[－cos (B＋C)sin (B－C)＋cos Asin(C－B)]

＝2R[－cos Asin(C－B)＋cos Asin (C－B)]＝0.

所以·(－)＝0，

所以⊥.

又向量＋经过点A，所以向量

λ与△ABC的BC边上的高线所在的向量共线．

因为＝＋λ，

所以点P在△ABC的BC边上的高线上，

所以点P的轨迹经过△ABC的垂心，故选D．

【答案】　D

两非零向量垂直的充要条件是其数量积为零，利用该结论可以证明平面图形中的直线与直线垂直、也可以根据两向量垂直求未知的参数值等．

策略五　用好向量运算的几何意义

已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，则|b－c|的最大值是______．

【解析】　设a，b夹角为θ，a·b＝×3cos θ＝3，

得cos θ＝，

因为0≤θ≤π，所以θ＝.

建立如图所示的平面直角坐标系，a＝(1，1)，b＝(3，0)，

设c＝(x，y)，

则c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)．

因为(c－2a)·(2b－3c)＝0，

所以(x－2)(6－3x)＋(y－2)·(－3y)＝0，

整理得x2＋y2－4x－2y＋4＝0，

即(x－2)2＋(y－1)2＝1，

即向量c的终点在以(2，1)为圆心、1为半径的圆上，

根据向量减法的几何意义，可知|b－c|的最大值为＋1＝＋1.

【答案】　＋1