江苏省无锡市锡山区天一实验学校2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题（含答案）

2022-2023学年无锡天一八（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（    ）

A.    B.

C.     D.

2.如图，OD平分，于点E，，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（    ）

A.3   B.4   C.5   D.6

3.如图，，，，则的度数为（    ）

A.30°   B.50°   C.60°   D.100°

4.下列选项所给条件能画出唯一的是（    ）

A.，，   B.，，

C.，    D.，，

5.下列说法正确的是（    ）

A.两个等边三角形一定全等

B.两个全等三角形一定成轴对称

C.线段不是轴对称图形

D.面积相等的两个等腰直角三角形一定全等

6.如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大12°，则∠1的度数为（    ）

A.66°   B.68°   C.54°   D.56°

7.如图，在中，，，M是AC的中点，D、E分别在AB、BC上，且，则四边形的面积为（    ）

A.2   B.3.2   C.3.6   D.4

8.如图，已知，用尺规在AC上确定一点P，使，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（    ）

A.   B.

C.  D.

9.如图，在四边形与四边形中，，，.下列条件中：①，；②，；③，；④，.添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形.上述条件中符合要求的有（    ）

A.①②③   B.①③④   C.①④   D.①②③④

10.如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（    ）

A.90°   B.120°   C.135°   D.150°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为__________.

12.已知，，，则EF的长为__________.

13.如图，中，，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，，则__________.

14.如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.

15.如图，，，，则的面积为__________.

16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则此三角形的顶角为__________.

17.如图，点I为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为__________.

18.如图，，已知中，，，的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为___________.

三、解答题（本大题共9小题，共76分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（本题8分）在中，.

（1）已知，求；

（2）已知的周长为20，求AB长度的取值范围.

20.（本题8分）如图，∠1=∠2，，，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；

（1）求证：；

（2）若∠2=40°，求的度数.

21.（本题8分）如图，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F.

（1）若的周长为10cm，求BC的长；

（2）若，求的度数.

22.（本题8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）在图中作出关于直线对称的；（要求：A与，B与，C与相对应）

（2）若格点P到点A、B的距离相等，则网格中满足条件的点P共有____________个；

（3）在直线上找一点Q，使的值最小.

23.（本题8分）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）

（1）在线段AC上找一点M，使得，请在图1中作出点M；

（2）若是锐角，请在线段BC上找一点N，使得点N到边AB的距离等于NC，请在图2中作出点N.

24.（本题8分）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，过B作，垂足为F，延长BF交AC于点E.

（1）求证：为等腰三角形：

（2）已知，，求AB的长.

25.（本题8分）如图，点E在等边的边AB所在直线上，以EC为一边作等边，顶点E、C、F顺时针排序.

（1）点E在线段AB上，连接BF.求证：；

（2）已知，当是直角：三角形时，求BE的长.

26.（本题10分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形.

（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线BD交AC于点D，且BD是的一条内好线，则__________度；

（2）如图2，中，，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点B.求证：AE是ABC的一条内好线；

（3）如图3，已知是内好三角形，且，为钝角，则所有可能的的度数为__________（直接写答案）.

27.（本题10分）以的AB、AC为边作和，且，，CE与BD相交于M，.

（1）如图1，求证：；

（2）在图1中，连接，则_____________，∠AMC=__________；（都用含的代数式表示）

（3）如图2，若，G、H分别是EC、BD的中点，求的度数.

答案

1—5.CADBD

6.B

【解答】解：如图所示，由题意可得：∠3=∠4，

∵，∴∠2=∠3，∴∠2=∠4，

由图可得，∠1+∠2+∠4=180°，

∵∠1比∠2大12°，∴（∠2+12°）+∠2+∠2=180°，解得∠2=56°，∴∠1=∠2+12°=56°+12°=68°.

7.D.

【解答】连接BM，易证，，，进而，故，从而.

8.C

【解答】解：∵点P在AC上，∴，

而，∴，∴点P在线段AB的垂直平分线上.

9.B

【解答】解：连接AC，，易证，∴，.

∵①中，∴，又，∴..

进而可证两个四边形所有对应边和对应角均相等，故全等，①正确；

同理，③中利用AAS可证，④中利用SSS可证，③④正确；

而②中的条件为SSA，无法证明，故②错误.

10.A

【分析】连接CF，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则，依据当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段BG长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数.

【解答】解：如图，连接CF，

∵、都是等边三角形，

∴，，，

∴，

∴，

在和中，，∴，

∴，

如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则，

∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段BG长，且时，的周长最小，

由轴对称的性质，可得，，

∴是等边三角形，

∴，∴，∴，

又∵，∴.

11.10

12.1

13.8

14.45°

【解答】解：.

15.9

【解答】解：作于E，作交CB的延长线于F.

∵，，∴，

∵，，∴，∴，

∵，∴，

在和中，，∴，

∴，的高即为DF，

∴.

16.40°或140°.

【解答】解：如图1，三角形是锐角三角形时，

∵，∴顶角；

如图2，三角形是钝角三角形时，

∵，∴，

综上所述，顶角等于40°或140°.

17.4

【解答】解：连接、，

∵平分，∴，

由平移得：，∴，

∴，∴，

同理可得：，

∴的周长，

即图中阴影部分的周长为4.

18.7

【分析】作于H，连接OH，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理计算出，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得，则利用三角形三边的关系得到（当点C、O、H共线时取等号），从而得到OC的最小值.

【解答】解：作于H，连接OH，如图，

∵，∴，

在中，，

∵H为AB的中点，∴，

∵（当点C、O、H共线时取等号），∴OC的最小值为12-5=7.

19.【解答】解：（1）∵，∴.

在中，，

∴，∴.

（2）∵的周长为20，

∴，∴，∴.

在中，

∴，

解得.

20.【解答】（1）略；

（2）∵，∴，∴.

∵，∴.

21.【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，

∴，，

∴.

（2）∵，∴.

∵，，∴，，

∴，

∴.

22.【解答】解：（1）如图，即为所求.

（2）∵格点P到点A、B的距离相等，

∴点P在线段AB的垂直平分线上，

如图所示，，，，满足题意，共4个.

（3）如图，点Q即为所求.

23.【解答】解：（1）作线段BC的垂直平分线EF，交AC于点M，点M即为所求；（作图略）

（2）过点C作BC的垂线交BA的延长线于点O，作的角平分线交BC于点N，点N即为所求.

24.【解答】（1）证明：∵，∴，

又∵平分，∴，

又∵在和中

，

∴，∴，

∴为等腰三角形.

（2）解：连接，

∵，平分，

∴垂直平分，∴，∴，

∵，∴，

又∵，∴，

又∵中，，

∴，∴，∴，

∴.

25.【分析】（1）利用SAS证明可得，即可得，进而可证；

（2）可分两种情况：①当E点在线段AB上时，，②当E点在线段AB的延长线上时，，利用等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别计算求解即可.

【解答】证明：（1）∵和为等边三角形，

∴，，，

∴，

在和中，，∴，

∴，

∵，∴，∴，∴；

（2）解：①当E点在线段AB上时，，

∵，，∴，

∵，∴，∴，

∴；

②当E点在线段AB的延长线上时，，

∵，∴，

∵，

∴，∴，

综上，或6.

26.【解答】解：（1）∵，∴，

∵平分，∴，

∵是的一条内好线，∴和是等腰三角形，

∴，∴，，

∵，∴，

∵，∴，

∴.

（2）∵DE是线段AC的重直平分线，∴，即是等腰三角形，

∴，∴，

∵，∴，即是等腰三角形，∴AE是ABC的一条内好线；

（3）设BE是的内好线，

①如图3，当时，则，∴，

若时，则，∴，

若时，则，∴（不合题意舍去），

若时，则，∴（不合题意舍去），

②如图4，当时，则，

∴，

∴只能是，∴，∴；

③如图5，当时，则，

∴，，

∴只能是，∴，∴.

设是的内好线，

只能是，∴，

∵，∴，∴（不合题意舍去）.

设是的内好线，

只能是，∴，∴.

∵，∴，

∵，∴，，∴，

综上所述：或117°或144°或148°.

27.【解答】解：（1）∵，∴，即，

在和中，，∴；

（2）∵，∴，8字形EABM导角可知；

如图3，连接AM，过点A作于P，于N，

∵，∴，，

∴，∴，

又∵，，

∴，

∴.

（3）连接，

由（1）可得：，，

∵G、H分别是EC、BD的中点，

∴，，∴.

在和中，，∴，

∴，，

∴，

∴.