江苏省盐城市大丰区第四共同体2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区第四共同体九年级（上）第一次月考数学试卷

一．选择题（共8小题，每匙3分，共24分）

1．（3分）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　

A．5、、4 B．5、、 C．5、、 D．5、4、

2．（3分）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　

A． B．0 C．3 D．9

3．（3分）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

4．（3分）已知的两个根为、，则的值为　　

A．2 B． C．3 D．

5．（3分）某口罩厂平均每天可生产15万只口罩，厂家引进新技术，经过连续两次增速后，平均每天可生产25万只．若两次的平均增长率都为，则可得方程　　

A． B． 

C． D．

6．（3分）在平面内与点的距离为的点的个数为　　

A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个

7．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是　　

A．5 B．4 C．3 D．2

8．（3分）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共8小题，毎题3分，共24分）

9．（3分）一元二次方程的根为 　　．

10．（3分）已知方程的两根为2和，分解因式　　．

11．（3分）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 　　．

12．（3分）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是 　　．

13．（3分）如图所示，点，，是上的点，，则　　．

14．（3分）在半径为的中，弦平行于弦，，，则与之间的距离是 　　．

15．（3分）如图，是的直径，，，如果为圆上一点，且，那么　　．

16．（3分）一元二次方程的一般形式是 　　．

三、解答题（共10小题，满分102分）

17．（10分）解方程：

（1）；

（2）．

18．（10分）如图，已知的直径，点是弦上一点，联结，，，求弦的长．

19．（10分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若已知方程的一个根为，求方程的另一个根以及的值．

20．（10分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．

（1）若降价元后，每件衬衫的利润　　（元，平均每天销售数量为 　　件（用含的代数式表示）；

（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？

21．（10分）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点；

（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆的面积．

22．（10分）若，求，的值．

解：，

　　，

即　　　　．

根据非负数的性质，得　　．

（1）阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；

（2）设等腰三角形的三边长分别为，，，且满足，求的周长．

23．（10分）如图，五边形内接于，，连接，，求证：．

24．（10分）如图，是直径，弦交于点，，，求（用含的式子表示）．

25．（12分）如图1．在中，，点在劣弧上运动，连接，，交于点．

（1）求的度数；

（2）当点运动到使时，连接并延长，交于点，交于点，交于点，依据题意在备用图中画出图形．并证明：为的中点．

26．（10分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

如图1，是中的遥望角，如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点．

求证：是中的遥望角．

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区第四共同体九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，每匙3分，共24分）

1．（3分）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　

A．5、、4 B．5、、 C．5、、 D．5、4、

【分析】一元二次方程的般形式为，其中，二次项的系数为，一次项的系数为，常数项为．

【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5、、．

故选：．

2．（3分）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　

A． B．0 C．3 D．9

【分析】将左边展开，再移项可得关于的方程，解之即可．

【解答】解：，

，

，

由题意知，

解得，

故选：．

3．（3分）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

【分析】先计算出△，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：根据题意得：

△，

所以有两个不相等的实数根．

故选：．

4．（3分）已知的两个根为、，则的值为　　

A．2 B． C．3 D．

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系为：即可求解．

【解答】解：的两个根为、，

．

故选：．

5．（3分）某口罩厂平均每天可生产15万只口罩，厂家引进新技术，经过连续两次增速后，平均每天可生产25万只．若两次的平均增长率都为，则可得方程　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用经过连续两次增速后每天的产量原产量增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：．

故选：．

6．（3分）在平面内与点的距离为的点的个数为　　

A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】在平面内与点的距离为的点在“以点为圆心，为半径为的圆”上．

【解答】解：在平面内与点的距离为的点的个数为为：所有到定点的距离等于的点的集合，

故选：．

7．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是　　

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入后求出即可．

【解答】解：连接，

设的半径为，则，

，过圆心，，

，，

由勾股定理得：，

，

解得：，

即的半径长是5，

故选：．

8．（3分）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是　　

A． B． C． D．

【分析】连接，过点作，结合三角形外心和垂径定理分析求解．

【解答】解：连接，过点作，

是等边的外接圆，

平分，

，

又，

，

在中，，

，

解得：，

故选：．

二．填空题（共8小题，毎题3分，共24分）

9．（3分）一元二次方程的根为 　，　．

【分析】先移项，再利用提公因式法把方程左边分解得到，则原方程化为或，然后解一次方程即可．

【解答】解：，

，

或，

，．

故答案为：，．

10．（3分）已知方程的两根为2和，分解因式　　．

【分析】根据方程的两根为2和，即可解答．

【解答】解：方程的两根为2和，

，

故答案为：．

11．（3分）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 　5　．

【分析】把代入求值即可．

【解答】解：把代入可得，

解得，

故答案为：5．

12．（3分）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是 　点在圆外　．

【分析】判断点到圆心的距离与半径的大小关系可得答案．

【解答】解：的半径，点到圆心的距离，

，

点与的位置关系是点在圆外，

故答案为：点在圆外．

13．（3分）如图所示，点，，是上的点，，则　　．

【分析】首先在优弧上取点，连接，，由点、、是上的点，，即可求得的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．

【解答】解：在优弧上取点，连接，，

，，

，

．

故答案为：．

14．（3分）在半径为的中，弦平行于弦，，，则与之间的距离是 　或　．

【分析】先求出弦的长，然后作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出弦与圆心的距离为，弦与圆心的距离为，若、位于圆心异侧，则与之间的距离为，、位于圆心同侧，则与之间的距离为．

【解答】解：如图1，

过点作于，交于，

，

，

过圆心，，

，

，

在中，，

，

，

，

，

如图1，若、位于圆心同侧，则与之间的距离为，

如图2，若、位于圆心异侧，则与之间的距离为．

综上所述，与之间的距离为或．

故答案为：或．

15．（3分）如图，是的直径，，，如果为圆上一点，且，那么　或　．

【分析】连接，，，先证明是等边三角形，利用是圆的直径求得，利用直角三角形中的三角函数可求得，点的位置有两种情况：①当点在的下方的圆弧上，②当点在的上方的圆弧上，分别计算即可．

【解答】解：如图，连接，，，

，，，

，

是等边三角形，，是圆的直径，

，

，，

，

，

点的位置有两种情况：

①当点在的下方的圆弧上时，；

②当点在的上方的圆弧上时，．

故答案为：或．

16．（3分）一元二次方程的一般形式是 　　．

【分析】方程，这种形式叫一元二次方程的一般形式．由此化简即可．

【解答】解：一元二次方程的一般形式是：，

故答案为：．

三、解答题（共10小题，满分102分）

17．（10分）解方程：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用公式法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【解答】解：（1），

这里，，，

△，

，

，；

（2），

，

或，

，．

18．（10分）如图，已知的直径，点是弦上一点，联结，，，求弦的长．

【分析】过作于，求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则根据垂径定理得出，再个勾股定理求出即可．

【解答】解：过作于，则，

，

，

，

设，

直径，

，

，过圆心，

，

，

，

在中，由勾股定理得：，

即，

解得：，（不符合题意，舍去），

即，

即．

19．（10分）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若已知方程的一个根为，求方程的另一个根以及的值．

【分析】（1）由△可得答案；

（2）设方程的另外一根为，根据韦达定理得出，解之即可得出答案．

【解答】（1）证明：△

，

无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的另外一根为，

根据题意，得：，

解得：

所以方程的另一根为0，的值为．

20．（10分）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．

（1）若降价元后，每件衬衫的利润　　（元，平均每天销售数量为 　　件（用含的代数式表示）；

（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？

【分析】（1）利用每件衬衫的利润原利润每件降低的钱数，即可用含的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量每件降低的钱数，即可用含的代数式表示出降价后平均每天的销售量；

（2）利用该经销商每天销售衬衫获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论．

【解答】解：（1）依题意得：降价元后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销售量为件．

故答案为：；．

（2）依题意得：，

整理得：，

解得：，，

又要尽快减少库存、增加盈利，

．

答：每件商品应降价20元．

21．（10分）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点；

（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆的面积．

【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点；

（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．

【解答】解：（1）如图所示，点即为所求；

（2）连接，

由勾股定理得：，

外接圆的面积为：．

22．（10分）若，求，的值．

解：，

　　，

即　　　　．

根据非负数的性质，得　　．

（1）阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；

（2）设等腰三角形的三边长分别为，，，且满足，求的周长．

【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征及加法运算律将已知等式左边变形，再利用非负数的性质求出与的值；

（2）已知等式配方后求出与的值，即可确定出三角形周长．

【解答】解：（1），

，

即．

根据非负数的性质，

，

故答案为：；；；4；

（2）已知等式变形得：，

所以，，

当为腰时，三边为2，2，3，周长；

当为腰时，三边为3，3，2，周长．

故的周长为7或8．

23．（10分）如图，五边形内接于，，连接，，求证：．

【分析】根据已知可得，从而得出，然后利用等弧所对的圆周角相等得到，最后利用圆内接四边形对角互补即可解答．

【解答】证明：，

，

，

，

，

四边形是的内接四边形，

，

．

24．（10分）如图，是直径，弦交于点，，，求（用含的式子表示）．

【分析】利用等腰三角形的性质得到，利用三角形外角性质得到，由于，则，然后根据三角形外角性质得到．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

，

．

25．（12分）如图1．在中，，点在劣弧上运动，连接，，交于点．

（1）求的度数；

（2）当点运动到使时，连接并延长，交于点，交于点，交于点，依据题意在备用图中画出图形．并证明：为的中点．

【分析】（1）求出，利用圆周角定理解决问题即可；

（2）证明，，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．

【解答】（1）解：如图1中，，

，

，

弧弧，

；

（2）证明：依据题意画图如下：

连接，．

，

，

又，

，

，，，

，

，，

，

，

，

，

，

，

又，

，即点为的中点．

26．（10分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

如图1，是中的遥望角，如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点．

求证：是中的遥望角．

【分析】延长到点，根据圆内接四边形的性质得到，得到，根据圆周角定理得到，进而得到，根据遥望角的定义证明结论．

【解答】证明：如图2，延长到点，

四边形内接于，

，

，

，

平分，

，

，

，

是的平分线，

，

，

，，

，

，

是的外角平分线，

是中的遥望角．