湖南省邵阳市邵东市第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题（含答案）

邵东一中2022年下学期高一第一次月考

数学试卷

时间：120分钟满分：150分

一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）

1.已知集合，下列四个表述中，正确的个数是（    ）

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则.

A.1    B.2    C.3    D.4

2.设集合，若且，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知集合，则集合中元素个数为（    ）

A.3    B.4    C.5    D.6

4.已知，则的最小值是（    ）

A.    B.    C.    D.2

5.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.或

C.或    D.

6.王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传颂至今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的（    ）

A.充分条件    B.必要条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

7.已知，且，则下列结论正确的是（    ）

①

②的最小值为16

③的最小值为8

④的最小值为2

A.①②    B.①②③    C.①②④    D.②③

8.关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A.或

B.或

C.或

D.或

二､多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4.5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，本大题共4个小题，共20分.）

9.下列命题中，是真命题的是（    ）

A.

B.

C.至少有一个实数，使

D.两个无理数的和必是无理数

10.下列选项中的两个集合相等的有（    ）.

A.

B.

C.

D.

11.设全集，集合和，则下列结论正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

12.生活经验告诉我们，克糖水中有克糖，且），若再添加克糖（假设糖全部溶于水），则糖水会更甜，于是得出一个不等式.下列说法一定正确的是（    ）

A.若，则与大小关系不随的变化而变化

B.若，则

C.若，则

D.若，则

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上）

13.已知，且，则的值等于__________.

14.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则__________.

15.关于的方程0至少有一个负的实根的充要条件是__________.

16.对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.

四､解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22每题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17.甲､乙两位同学在求方程组的解集时，甲解得正确答案为，乙因抄错了的值，解得答案为，求的值.

18.已知均为正实数.

（1）若，求证：；

（2）若，求的最大值.

19.在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答.

设集合，__________，求实数的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.某厂家拟在2021年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入是8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（此处每件产品年平均成本按元来计算），

（1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

21.已知命题，命题.

（1）若命题和命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.

22.（1）当时，不等式恒成立，求的取值范围

（2）解关于不等式

答案

一､单项选择题，

1.答案：C

解析：①因为，则或或，故错误；

②因为，则且，则，故正确；

③因为，所以，故正确；

④因为，所以，即，故正确

2.【答案】C  因为集合，而且，

且，解得.故选：C.

3.【答案】B  由得，解得，

所以.故选：B

4.答案：A

（当且仅当，即㫝，等号成立）

5.答案：D

解析：因为是的必要不充分条件，

所以，

所以，解得.故选

6.答案：B

由题意知“返还家乡”可推出“攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要条件.

7.答案：C

①，故①正确；

②（当且仅当时成立），故②正确；

③（当且仅当时成立），故③错误；

④代入，得（当且仅当时成立），故④正确.

8.答案：B

解析：不等式即不等式，即不等式恰有2个整数解，

，解得或.

当时，不等式的解集为，

个整数解为1，2，

，即，解得；

当时，不等式的解集为，

个整数解为，

，即，解得.

综上所述，实数的取值范围是或

二､多项选择题

9.答案：AC

解析：对选项A，因为，所以是真命题；对选项

B，当时，，故该命题为假命题；对选项C，当时，成立，所以是真命题；对选项D，因为，所以是假命题.故选AC.

10.答案：AC

11.答案：CD

因为，所以，

，故A，B不正确；又，

，故C，D正确.

12.答案：ACD

解析：对于A，由题目中信息可知，若，则，故A正确；

对于，因为，所以，故，即，故B错误；

对于，若，则，

由题目中信息可知，，即，故C正确；

对于，若，则，

所以，所以，

即，故D正确.

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.答案：

，解得，

，又，

，解得

14.答案：1由，可得（否则不满足集合中元素的互异性）.

所以或解得或经检验满足题意.

15.答案：

（1）当时，原方程化为，故，符合.

（2）当时，原方程为一元二次方程，

它有实根的充要条件为，即，所以.

①当时，至少有一个负实根恒成立.

②当时，至少有一个负实根，则，可得.

综上，若方程至少有一个负的实根，则，

反之，若，则方程至少有一个负的实根.

因此，关于的方程至少有一个负的实根的充要条件是.

16.令，

则，

故，

当且仅当时等号成立，

故的最大值为，故.

四､解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22每题12分，共70分.

17.答案：

解析：将代入方程组，得

将代入，得③.

联立①②③，解得，所以

18.答案：证明：（1），

三式相加可得，

，又均为正整数，成立.

（2），

即，解得：.即的最大值为1.

19.答案：若选①，由，得.由题意，，

当集合时，关于的方程没有实数根，

，解得；

当集合时，若集合中只有一个元素，则，

解得，此时，符合题意；

若集合中有两个元素，则无解.

综上可知，实数的取值范围为.

若选②，由，得.

若选③，由，得.

同理，可得实数的取值范围为.

20.答案：（1）（2）3

解析：（1）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件，

即当时，，将其代入中，求得：

即，所以

（2）由（1）得：

即

当且仅当，即时，等号成立，故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大

21.答案：（1）若命题为真命题，则，即.

所以若为真命题，则.

若命题为真命题，

则，即.

若为真命题，则.

①当为真，为假时，为真，即所以；

②当为假，为真时，为真，即无解，舍去.

综上所述，当命题和命题有且只有一个为真命题时，的取值范围为.

（2）解法一：①当真假时，为真，即所以；

②当假真时，为真，即所以；

③当真真时，无解，舍去.

综上所述，的取值范围为或.

解法二：考虑至少有一个为真命题的反面，即均为假命题，

即为真，且为真，则解得，即，

故至少有一个为真命题时，的取值范围为的补集.

故的取值范围为或.

22.（1）由题意不等式化为，

当时，，且，

所以原不等式可化为一恒成立，

设，则的最小值为，

所以的取值范围是.

解：（2）不等式可化为，

即，

①当时，原不等式的解集为；

②当时，方程的两根为和；

当时，不等式的解集为或；

当时，

（i）若，即，原不等式的解集为；

（ii）若，即，原不等式的解集为；

（iii）若，即，原不等式的解集为，

综上所得：当时，原不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.