湖南省邵东市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022年下学期高二第一次月考数学试题

满分：150分    时间：120分钟  

命题人                        审题人：

一、选择题（共40分，每题5分）

1、直线的倾斜角为(   )

A.45° B.30° C.60° D.120°

2、已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

3、若直线的倾斜角为45°，直线经过点P(-2,-1),Q(3,-6)，则直线与的位置关系是（  ）

A.垂直 B.平行 C.重合 D.平行或重合

A. B. C. D.7

5、关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5的奇数都是三个素数之和,如.若从中任取2个不同的素数组成点,其中,且组成的所有点都在圆E上,则圆E的标准方程为(   )

A. B.

C. D.

6、已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

7、已知直线l与圆相切，与圆相交于两点，且是等腰直角三角形，则直线l的方程为(   )

A. B.或

C. D.

8、已知点分别是椭圆+=1的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1。若点P在此椭圆上,,则的面积等于（  ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（共20分，每题少选或漏选得2分，错选不得分，全选对得5分）

9、在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可以为(   )

A. B. C. D.

10、已知直线与圆，点，则下列说法正确的是(   )

A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

11、若实数x,y满足，则下列关于的判断正确的是(   )
A.的最大值为           B.的最小值为

C.的最大值为          D.的最小值为

12、如图，在直三棱柱中，，,D,E分别是线段BC,上的动点（不含端点），且，则下列说法正确的是(   )

A.平面

B.该三棱柱的外接球的表面积为

C.异面直线与所成角的正切值为

D.二面角的余弦值为

三、填空题（共20分，每空5分）

13、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是_______________.

14、已知入射光线经过点,被直线反射,反射光线经过点,则反射光线所在直线的方程为_____________.

16、已知圆与直线交于，两点，点在直线上，且，则的取值范围为_____

四、解答题（共70分）

17（10分）、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

(1)若，，求的面积；

(2)若，求C.

18（12分）、如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，E是PB的中点，且.

（1）证明：平面ACE.

（2）若，，求二面角的余弦值.

19（12分）、已知函数的最大值为1

（1）求常数a的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．

20（12分）、已知圆，直线l过定点．

（1）若直线l与圆相切，求直线l的方程；

（2）若直线l与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．

21（12分）、已知函数.

(1)若在区间上有最小值为-1,求实数m的值;

(2)若时,对任意的,总有,求实数m的取值范围.

22（12分）、已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.

   （1）求椭圆的标准方程；

   （2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：直线的斜率为,倾斜角为60°，故选C.

2、答案：D

解析：由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，

所以，因此的周长为，故选：D

3、答案：A

解析：由题可知直线L1的斜率为tan135°=1，直线L2的斜率为= -1，所以直线L1与L2垂直

4、答案：C

解析：由已知得 = ,所以,所以直线,则两平行线间的距离d=,故选C

5、答案：D

解析：从中任取2个不同的素数组成点,其中,共组成3个点,易得,所以圆心E即为的中点,为圆E的直径,所以圆心E的坐标为,圆E的半径长为,所以圆E的标准方程为.故选D.

6、答案：D

解析：由题意可知点，，，则直线AP的方程为.由为等腰三角形，，得，则点，代入直线AP的方程，整理得，则椭圆C的离心率.

7、答案：B

解析：由于是等腰直角三角形，圆C的半径为4，所以，圆心C到直线l的距离.若直线l的斜率不存在，由于直线l与圆相切，则直线l的方程为或，点到直线l的距离或，与矛盾，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为，根据直线l与圆相切，以及点C到直线l的距离，可得，

于是.当，即时，，

当时，直线l的方程为，

当时，直线l的方程为.

当，即时，，无解.故选B

8、答案：B

解析：椭圆则，所以，则由余弦定理可知，代入化简可得，

则，

故选：B.

9、答案：BCD

解析：由和，得，.

由椭圆的几何性质，得，，

所以可得离心率，故选BCD.

10、答案：ABD

解析：本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系.圆心到直线的距离，若点A在圆上，则，则，所以直线l与圆C相切，故A项正确；若点A在圆内，则，则，所以直线l与圆C相离，故B项正确；若点A在圆外，则，则，所以直线l与圆C相交，故C项错误；若点A在直线l上，则，即，则点A也在圆C上，，所以直线l与圆C相切，故D项正确.

11、答案：CD

解析：由得，表示以为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点与点连线的斜率，易得的最大值为，最小值为.

12、答案：AD

解析：在直三棱柱中，四边形是矩形，所以，因为，所以，又平面,平面，所以平面，故A项正确；

因为，所以，因为，所以，

易知为直角三角形，所以，易知是三棱柱外接球的直径，

所以三棱柱外接球的表面积，故B项错误；

因为，所以异面直线与所成角为.在中，，

所以，故C项错误；

连接，则二面角即二面角，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，

则即令，可得，

设平面的一个法向量为，则即

令，可得，所以，

故二面角的余弦值为，故D项正确.故选AD.

13、答案：

解析：由椭圆的长轴长为18，得.因为两个焦点恰好将长轴三等分，所以，，所以.又椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为.

14、答案：

解析：设点关于直线的对称点为,则反射光线所在直线过点,

由,解得.

又反射光线经过点,

所以所求直线的方程为,即.

15、答案：

解析：椭圆经过点A（0,4）所以b=4,又因为e=,易得，所以椭圆C方程为,过点（3,0）且斜率为的直线方程为，设直线与椭圆C的交点为E，F，线段EF的中点为，将直线方程代入C的方程，整理就会得到，

中点坐标为

16、答案：

解析：因为，所以是直线与的垂直平分线的交点，

联立与，可得：，

由得：或，设，

则，所以，

所以中点坐标为，的垂直平分线方程为：，

与联立得：，因为或，所以

故答案为：

17、(高一内容）答案：(1)；(2).

解析：(1)由余弦定理可得，

，，的面积；

(2)，

，

，，

，.

18、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）证明：设，连接OE.
因为四边形ABCD是菱形，所以O是BD的中点.
因为，所以.
因为四边形ABCD是菱形，所以.
因为平面ACE，平面ACE，且，
所以平面ACE.
（2）解：因为，所以，所以.

因为，所以平面ABCD.

因为O，E分别是BD，PB的中点，所以，所以平面ABCD.
故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，，
故，，，
设平面ADE的法向量，
则令，得.
设平面CDE的法向量，
则
令，得.
设二面角为，由图可知为钝角，
则.

19、（高一内容）

答案：（1）

（2）由，解得

，所以函数的单调递增区间

（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，

当时，，取最大值

当时，，取最小值-3.

20、答案：（1）或(2) 或

解析： （1）①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意. 

 ②若直线斜率存在，设直线的方程为，即．

由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，即：，解之得.  所求直线的方程是或.

(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，

则圆心到直线的距离

又∵△CPQ的面积

∴当时，取得最大值2.∴∴或

所求直线方程为或.

21、（高一内容）答案：(1)函数图象的对称轴为直线,

当,即时,;

当,即时,在区间上单调递减,

,

∴.

综上可知,或.

(2),且,

∴.

∵对任意的,

总有,

∴,

得.故实数m的取值范围是.

22.答案：(1) ；(2)

解析：

（1）由，

得，

则由，解得

设椭圆的方程为，则，解得

所以椭圆的方程为

（2）因为点在椭圆上运动，所以，

从而圆心到直线的距离.

所以直线与圆恒相交，又直线被圆截得的弦长为

由于，所以，则，

即直线l被圆截得的弦长的取值范围是