江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年九年级上学期第一次月度抽测数学试题（含答案）

常青藤学校联盟2022～2023学年度第一学期第1次月度检测

九年级数学试题

第一部分  选择题（共18分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）

1．已知一组数据：14、16、15、16、17，这组数据的众数是（    ）

A．14    B．15    C．16    D．17

2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.0环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是（    ）

A．甲    B．乙    C．丙    D．丁

3．如图，是的内切圆，若，则（    ）

A．125°    B．115°    C．100°    D．130°

4．如图，AB是的直径，PA与相切于点A，，OC的延长线交PA于点P，则的度数是（    ）

A．25°    B．35°    C．40°    D．50°

5．已知的两个根为、，则的值为（    ）

A．2    B．－2    C．3    D．－3

6 如图，在四边形ABCD中，，，是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切于F，E两点，若，，则EF的长是（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）

7．如图，在中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为______cm．

8．中心角为30°的正多边形边数为______．

9．半径为8cm，弧长为cm的扇形面积为______cm2．

10．某企业决定招聘广告策划人员一人，某应聘者三项素质测试的成绩（单位：分）如下：

如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按的比确定应聘者的最终成绩，则该应聘者的最终成绩为______分．

11．如图，内接于，，则______．

12．某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是______．

13．如图，在中，，，．若以AC所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于______．

14．一组数据的方差，则该组数据的总和是______．

15．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，半径为1的动圆沿x轴正方向运动，若运动后与y轴相切，则点P的运动距离为______．

16．如图，在矩形ABCD中，，，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）用适当的方法解方程：

（1）；       （2）．

18．（本题满分8分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：

（1）这组数据的平均数是______元，中位数是______元．

（2）估计一个月的营业额（按30天计算）；

①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么：______（填“合适”或“不合适”）

②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．

19．（本题满分10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、．

（1）求k的取值范围；

（2）若______（填序号），求k的值．

（从①；②；③中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．）

20．（本题满分8分）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆的面积．

21．（本题满分10分）如图，已知中，弦，点P是弦AB上一点，，．

（1）求OB的长；

（2）过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：．

22．（本题满分10分）如图中，，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的经过点D．

（1）求证：直线BC是的切线；

（2）若，，求图中阴影部分的面积．

23．（本题满分10分）如图，中，，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．

（1）求证：；

（2）若，，求BF的长．

24．（本题满分10分）如图，为的外接圆，交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE．

（1）证明：；

（2）若，，求AF的长．

25．（本题满分12分）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？

（3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？

26．（本题满分14分）【发现】（1）如图1，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接PA，PB，则PB的最小值为______，最大值为______；（用含d，r的式子表示）

【应用】（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是BC，CD上的点，且，连接AE，BF交于点P，求PC的最小值；

【拓展】（3）如图3，AB是的直径，，C为上一定点，且，动点P从点A出发沿半圆弧逆时针向点B运动，当点P到达点B时停止运动，在点P运动的过程中，连接PC，PB，过点C作交PB的延长线于点D，连接AD，求AD的最大值．

常青藤学校联盟2022～2023学年度第一学期第1次月度检测

九 年 级 数 学 试 题

一．选择题（共6小题）

1．C．     2．C．    3．A．    4．C．     5．D．     6．A．

二．填空题（共10小题）

7．5．       8．12．      9．60π．       10．83．         11．26．

12．10%．   13．15π．    14．21．       15．3或5．      16．9.6

三．解答题（共10小题）

17．解：（1）∵x2＝7x， ∴x2﹣7x＝0， ∴x（x﹣7）＝0，

则x＝0或x﹣7＝0，   解得x1＝0，x2＝7；

（2）∵x2+4x﹣5＝0，    ∴（x+5）（x﹣1）＝0，

则x+5＝0或x﹣1＝0，  解得x1＝﹣5，x2＝1．

18．解：（1）780，680；

（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适；故答案为：不合适；

②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，当月的营业额为30×780＝23400（元）．

19．解：（1）∵一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2，

∴Δ＝﹣（2k+1）2﹣4×1×（k2+1）＞0， 解得：k＞；

（2）当①x1•x2＝2时， 得：k2+1＝2， 解得：k＝±1，

∵k＞， ∴k＝1；

当②x1+x2＝3时， 得：2k+1＝3， 解得：k＝1；

当③x1﹣x2＝1时， （x1﹣x2）2＝1，

（x1+x2）2﹣4x1•x2＝1， （2k+1）2﹣4（k2+1）＝1，

解得：k＝1．

故答案为：①或②或③（选一个即可）．

20．解：（1）如图所示，点O即为所求；

（2）连接OB， 由勾股定理得：OB＝＝，

∴外接圆⊙O的面积为：．

22．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，  则AE＝BE＝AB＝4，

∵OP＝3，∠OPB＝45°，

∴OE＝3×＝3，

∴OB＝＝＝5；

（2）证明：过点O作OF⊥CD于F，

∵CD⊥AB，   ∴∠FPE＝90°，

∵∠OPB＝45°，  ∴∠FPO＝45°，

∴∠FPO＝∠OPE， ∴OP平分∠EPF，

∵OF⊥CD，OE⊥AB，∴OE＝OF，∴AB＝CD．

22．（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，   ∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AD，

∵∠C＝90°，  ∴∠ODB＝90°， ∴OD⊥BC，

∵OD是半径，  ∴直线BC是⊙O的切线；

（2）解：由∠B＝30°，∠C＝90°，∠ODB＝90°，

得：AB＝2AC＝12，OB＝2OD，∠AOD＝120°，∠DAC＝30°，

∵OA＝OD，  ∴OB＝2OA， ∴OA＝OD＝4，

由∠DAC＝30°，得DC＝2，

∴S阴影＝S扇形OAD﹣S△OAD ＝

＝．

23．（1）证明：连接OD，

∵∠C＝90°，  ∴∠A+∠B＝90°，

∵DF与半⊙O相切于点D， ∴∠ODF＝90°，

∴∠ADO+∠BDF＝180°﹣∠ODF＝90°，

∵OA＝OD，     ∴∠A＝∠ADO，

∴∠B＝∠BDF，    ∴BF＝DF；

（2）解：连接OF，

∵∠C＝90°，OC＝OE+CE＝8，CF＝1，

∴OF2＝OC2+CF2＝82+12＝65，

在Rt△ODF中，OD＝AO＝4，

∴DF＝＝7， ∴DF＝BF＝7， ∴BF的长为7．

24．（1）证明：∵AE平分∠BAD，   ∴∠BAF＝∠DAF，

∵AD⊥BC，    ∴∠DAF+∠AFD＝90°，

∵AE为⊙O的直径，  ∴∠ABE＝90°，

∴∠AEB+∠BAF＝90°， ∴∠AEB＝∠AFD；

（2）解：过点B作BH⊥AE于H，

∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，

∴∠BFE＝∠AEB，   ∴BE＝BF＝5，

在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝90°，

则，

∵， ∴，

∴， ∴．

25．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

将（2，120），（4，140）代入y＝kx+b得：，解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100（0＜x＜20）．

（2）（60﹣3﹣40）×（10×3+100）＝（60﹣3﹣40）×（30+100）

＝17×130 ＝2210（元）．

答：当每千克干果降价3元时，超市获利2210元．

（3）依题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2090，

整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1，x2＝9．

又∵要让顾客获得更大实惠，  ∴x＝9．

答：这种干果每千克应降价9元．

26．解：（1）当P在BA延长线上时，PB最大，如图：

∴PB最大为：AB+PA＝d+r，

当P在线段BA上时，PB最小，如图：

∴PB最小为：AB﹣PA＝d﹣r， 故答案为：d﹣r，d+r；

（2）∵四边形ABCD是正方形，  ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，

∴∠APB＝∠CBF+∠AEB＝∠BAE+∠AEB＝90°，

如图，取AB的中点O，连接OP，则，

因此点P在以AB为直径的上运动，

连接CO，当点C、P、O不在一条直线上时，

在三角形COP中有：CP+OP＞CO，即CP＞CO﹣1，

当点C、P、O在一条直线上时，

，

∴当点C、P、O在一条直线上时，CP有最小值为，

（3）解：∵AB是的直径，∠ABC＝30°，AB＝4，

∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，AC＝AB＝2，，

∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°， ∴∠PDC＝30°，

∴点D在以BC为弦的上运动，

∴当A，，D共线时，AD的值最大，

如图，连接，，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，，

∵∠ABC＝30°，  ∴，

∴，

∴，

∴线段AD的最大值为．