2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题04 期中选填压轴题（含答案解析）

这是一份2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题04 期中选填压轴题（含答案解析），共63页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题04 期中选填压轴题（第1-4章）
一、单选题
1．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2022·江苏·八年级阶段练习）如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）

A．105° B．110° C．100° D．120°
6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
7．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△AOB和△DOC中，，，，．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（ ）个

A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
11．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）

A．13 B．12 C．11 D．10
12．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）

A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
14．（2022·江苏·八年级单元测试）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（ ）

A． B． C． D．
16．（2022·重庆大足·八年级期末）如图，在平行四边形中，，于E，于F，交于H，、的延长线交于E，给出下列结论：

①； ②；
③； ④若点F是的中点，则；
其中正确的结论有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
17．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（ ）

A． B．8 C． D．9
18．（2022·广东·佛山市顺德区拔萃实验学校八年级期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

二、填空题
19．（2022·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ___．

20．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．

21．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，是等边三角形，点在上，，，．是延长线上一点，．连接交于点，则的值为______．

22．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰中，，于点，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点．若，，则______．

23．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，D、E是内两点．AD平分，，若，则______cm．

24．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)

①； ②当E为中点时，﹔
③若，则； ④若，则面积的最大值为2．
25．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知中，，，，点D是AC边上的一个动点．将沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若，则C，E两点之间的距离为________．

26．（2022·全国·八年级课时练习）若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为___________
27．（2022·甘肃白银·八年级期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
28．（2022·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第四中学校八年级期中）如图，在中，，点为的中点，点分别为上的点，连接，若，则的长度为_________．

29．（2022·广东·红岭中学八年级期中）如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时，___________．

30．（2022·全国·八年级）如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边上方作等边三角形，连接，设的长度为，则的取值范围为______．

31．（2022·四川成都·八年级期末）如图，中，，，，点D为斜边上一点，且，以为边、点D为直角顶点作，点M为的中点，连接，则的最小值为_______．

32．（2022·陕西·西北大学附中八年级期末）如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）



答案与解析
一、单选题
1．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②⑤正确，AB与CD不一定相等，所以③④不正确．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，

∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【分析】证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【解析】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，

∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用垂直平分线的性质即可说明其正确；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；⑤利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．
【解析】
如图所示，设EH与AD交于点M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH为AF的垂直平分线，
∴AH＝HF，
∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正确，
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
4．（2022·江苏·八年级阶段练习）如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；
②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【解析】①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE(已证)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60∘，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD−AP=BE−BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠QE，
则DP≠DE，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．
5．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）

A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【解析】解：如图延长C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°−∠OBA−∠OAB＝180°−∠CBA−∠CAB
＝180°−（180°−∠C）＝90°＋∠C，①错误；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC＋∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°−60°−60°＝60°，

∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）•a＝ab，③正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
7．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．
【解析】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，

∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正确，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据SAS先证，可得①正确；再根据AAS证，得②正确；由全等三角形的对应边相等得AD=BE，AM=BN，从而可得DM=EN，所以③正确；再由全等三角形的对应角相等及对顶角相等得∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD，得证∠BOM=∠ACB=60°，∠AOE=120°,④正确；连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，由全等三角形的对应高相等得CH=CF，从而由角平分线的判定证得平分，得⑤正确．
【解析】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴(SAS)
∴AD=BE，
故①正确；
∵，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，
∴，
故②正确；
∵，
∴AM=BN，
∴AD-AM=BE-BN
即DM=EN
故③正确；
∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD
∴∠BOM=∠ACB=60°
∴∠AOE=120°
故④正确；
如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，

∵，
∴CH=CF，
∴平分，
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．
9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△AOB和△DOC中，，，，．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（ ）个

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】证明△AOC≌△BOD，判断②正确；根据△AOC≌△BOD，推出∠OAC=∠OBD，根据三角形内角和判断①；根据全等的性质得到，推出OE=OF即可判断④；假设∠DOM=∠AOM，证明△COM≌△BOM，推出OA=OC，由与OA＜OC矛盾判断③．
【解析】∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD＝108°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC=72°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝36°，
∵∠AOB＝∠COD，∠BOD=∠AOB+∠AOD，∠AOC=∠AOD+∠COD，
即∠AOC=∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OAC=∠OBD，故②正确；
∵∠OAB+∠OBA=36°，
∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OAC+∠ABD=∠MAB+∠ABM=∠AMD=36°×2=72°，
∴∠AMB=180°-∠AMD=180°-72°=108°，故①正确；
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，即有∠OFM=∠OEM=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，，
∴OE=OF，
∴Rt△OFM≌Rt△OEM，
∴∠FMO=∠EMO，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠AOD，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠AMD，∠AMB=∠DMC，
∴∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA＜OC矛盾，
∴③错误；
故选：B．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，假设法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【分析】逐项分析所给结论的正确性，即可选择．
【解析】解：如图所示：

∵为正三角形，
， ，
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
， ，
，
，
又，，
，
又，
可以由绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
连接 ，
，，
是等边三角形，
，
故结论②正确；
，
，
在中， ， ，
，
是直角三角形， ，
，
故结论③正确；
四边形的面积 ，
过点O作 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴四边形的面积 ，
故结论④不正确；
如图所示：将绕点A逆时针旋转 ，使得AB与AC重合，点O旋转至 ，连接 ，

， ，
是等边三角形，
，
，
，
是直角三角形，且 ，
同结论④证明过程可求得： ， ，
，
故结论⑤正确；
综上所述：结论①②③⑤正确．
故选A．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
11．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）

A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【解析】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
12．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，即可判断①；根据四边形内角和是360°可判断③，根据等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根据ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，再逐个判断②④⑤即可．
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴∠B=∠C=×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，故①④正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，
所以，EF随着点E、F的变化而变化，
只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故②错误；
在四边形AEPF中，∠BAC=90°，∠EPF=90°，
∴∠AFP+∠AEP=360°-（∠BAC+∠EPF）=180°，
即∠AFP和∠AEP互补，故③正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∵BP=CP，
∴S△APC=S△ABC，
∴四边形AEPF的面积=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
=S△ABC，故⑤错误，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，能求出△APE≌△CPF是解此题的关键．
13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）

A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】①设∠GCD＝x，∠DAC＝y，则： ，故．
②根据三线合一，延长GD与AC相交于点P，则CG＝CP，AP＝AF；
③证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
④在DF上截取DM＝CD，证即可．
【解析】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，

∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴（SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【解析】解：①∵
∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，
∵不是“整弦数”，
∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，



∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
15．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．
【解析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示
由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是线段BE的垂直平分线
∴BG=BE
∵D点是AB的中点
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴

故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．
16．（2022·重庆大足·八年级期末）如图，在平行四边形中，，于E，于F，交于H，、的延长线交于E，给出下列结论：

①； ②；
③； ④若点F是的中点，则；
其中正确的结论有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①证是等腰直角三角形，则，再由勾股定理即可得出结论；②由平行四边形的性质得，， ，，再证，进而得出结论；③证，得，即可得出结论；④连接，证是等腰直角三角形，得，再证，即可解决问题．
【解析】解：①，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，故①正确；
②四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，故②正确；
③，
，
，
，
又，
，
，
，故③正确；
④如图，连接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
，故④正确；
其中正确的结论有4个，
故选：A．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．
17．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（ ）

A． B．8 C． D．9
【答案】D
【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证明，推出；设，证明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案．
【解析】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，
∵在三角形，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
设∠BFE=x，则，
∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，
∴AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，
∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
，，
∴，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
18．（2022·广东·佛山市顺德区拔萃实验学校八年级期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案；③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断；④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，DF=2EH即可得出．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
∴△AFG三个内角都不相等，
∴△AFG不是等腰三角形，故②错误；
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∠ADF=∠BAH，DA=AB，
∴△ADF≌△BAH（ASA），故③正确；
∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°，
∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°，
∴AH=2EH，
∵EH=1，△ADF≌△BAH（ASA）
∴DF=AH，
∴DF=AH=2EH=2，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．

二、填空题
19．（2022·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ___．

【答案】①③④
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质即可判断①；在上取一点，使得，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可判断②；过点作于点，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，从而可得，然后根据线段的和差即可判断③；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断④．
【解析】解：在中，，
，
分别是的角平分线，
，
，
，结论①正确；
如图，在上取一点，使得，连接，
在和中，，
，
，
，
由对顶角相等得：，
，
在和中，，
，
，
，结论②错误；
如图，过点作于点，连接，
由上已证：，
，
，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
，
，
，结论③正确；
由上已证：，
，
，
，
，
，
即，结论④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
20．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．

【答案】105°
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【解析】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
21．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，是等边三角形，点在上，，，．是延长线上一点，．连接交于点，则的值为______．

【答案】
【分析】由可证明，设，；由可证明，可得，即可求解
【解析】解：∵
∴设则
∴
∵是等边三角形，
∴
∵AB//EG
∴
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
∴
在和中

∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键
22．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰中，，于点，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点．若，，则______．

【答案】6
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，由直线AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠5，等量代换求出即可得到；在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA＝NC，从而得到，据此求解即可．
【解析】解：如图1，∵，
∴，
∵，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在等边三角形中，，
∴；
在上截取，使，连接，
∵，，

∴是等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，D、E是内两点．AD平分，，若，则______cm．

【答案】10
【分析】过点E作，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作，垂足为G，由直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可知，，然后由等腰三角形三线合一可知，，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到，最后根据计算即可.
【解析】解；过点E作，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作，垂足为G．
，，
，
，
，，
．
又，
，
，AD平分，
，且．
，，，
四边形DGFH是矩形．
．
.
故答案为：10.

【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含的直角三角形是解题的关键.
24．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)

①； ②当E为中点时，﹔
③若，则； ④若，则面积的最大值为2．
【答案】①②③④
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角的性质以及等角的余角相等即可判断①正确；证得△ACD是等边三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判断②正确；证得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判断③正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的可得，则，则面积的最大值为2，即可判断④正确．
【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ADC=2∠DCB，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠ADC=2∠CAE，故①正确；
当E为CD中点时，∵AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC=AC，故②正确；
作BM⊥CD，交CD的延长线于点M，则AE∥BM，

∴∠DAE=∠DBM，
∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴DE=DM，
若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确；
∵△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，DE=DM，
∴S△ABE=S△BEM=•BM•EM=•AE•2DE=AE•DE，
若AB=4，则AD=2，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，


即的最大值值为1，
∴△ABE面积的最大值为2，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的性质，等边三角形的判断和性质，解直角三角形，三角形的全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积，综合运用以上知识是解题的关键．
25．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知中，，，，点D是AC边上的一个动点．将沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若，则C，E两点之间的距离为________．

【答案】
【分析】连接CE，交BD于点F，由折叠性质知，BE=BC，CD=ED，得到BD垂直平分CE，推出CF=EF=CE，根据BC=6，CD=2，∠ACB=90°，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，推出．
【解析】连接CE，交BD于点F，
由折叠知，BE=BC，CD=ED，
∴BD垂直平分CE，
∴CF=EF=CE，
∵BC=6，CD=2，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高．
26．（2022·全国·八年级课时练习）若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为___________
【答案】
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【解析】解：∵即时，，此时n=1，2，3，
∴；
∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵，，
∴即时，，
∴=-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，
故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
27．（2022·甘肃白银·八年级期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算数平方根和公式进行化简与计算，即可求解．
【解析】解：∵，
，
，

，
∴







故答案为：．
【点睛】本题考查数式规律问题、算数平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键．
28．（2022·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第四中学校八年级期中）如图，在中，，点为的中点，点分别为上的点，连接，若，则的长度为_________．

【答案】
【分析】延长DE至G，使GE=ED，连接FG、AG，过F作于H，易证，由全等的性质得AG=BD=4，易证EF为GD的垂直平分线，所以GF=FD=，易证为等腰直角三角形，设FH=AH=x，在中，用勾股定理求得x=1，进而求得AF=
【解析】解：延长DE至G，使GE=ED，连接FG、AG，过F作于H，
在和中，


∴ AG=BD=4，


为等腰直角三角形
设，则

为GD的垂直平分线

在中，


整理得：
配方得：
开平方根得：或（舍去）
∴
∴
故答案为：

【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂直平分线的的性质，等腰直角三角的性质及判定，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．本题添加辅助线的一个技巧是因为BD,DF,AF三边位置太分散了，所以通过三角形的全等改变位置，使它们集中，刚好可以构成，从而解决问题．
29．（2022·广东·红岭中学八年级期中）如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时，___________．

【答案】
【分析】过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，根据全等三角形的判定和性质得出∆BAD≅∆ACP，AD=CP，∠CEN=∠P，继续证明∆CPN≅∆CEN，得出∠DEF=∠EDF=60°，然后结合图形利用勾股定理解直角三角形，最后求比值即可．
【解析】解：如图所示，过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，

∵Rt∆ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN，
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
在∆BAD与∆ACP中，
，
∴∆BAD≅∆ACP，
∴AD=CP，∠CEN=∠P，
∴AD=EC，
∴CE=CP，
∵CN=CN，
∴∆CPN≅∆CEN，
∴∠P=∠NEC，
∴∠EDF=∠DEF，
∵∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵∠DEF=∠EDF=60°，
∴EF=DE，∠P=60°，
∴CP=CE=，
∴AE=AC-CE=
∵AD=，
∴CD=AC-CD=
∴EF=AC-AE-CD=，
∵BC=，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形等，作出辅助线构造出全等三角形是解题关键．
30．（2022·全国·八年级）如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边上方作等边三角形，连接，设的长度为，则的取值范围为______．

【答案】
【分析】由重合利用勾股定理可求BF的最大值；由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值．
【解析】解：如图，当点E与点C重合时，BF最长．


作FM⊥AC于M，
∵BC=6，CD：BC=1：2，
∴CD=2，BD=4，
∵△CDF是等边三角形，
∴DM=CM=1，
∴BM=5，
∴MF=，
∴在Rt△BMF中，，
∴BF最大是．
以 BD 为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：

∵△BDG ，△DEF都是等边三角形，
∴∠BDG =∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF，∠BDG+ ∠GFD= ∠EDF+ ∠GFD，即∠BDF=∠GDE，
∴△BDF≌△GDE ( SAS )
∴BF=GE
当GE⊥AC 时，GE有最小值，如图所示GE，作DH⊥GE，
∴BF=GE=CD +DB =2+2=4，
∴BF最小是4．
故填：．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长．
31．（2022·四川成都·八年级期末）如图，中，，，，点D为斜边上一点，且，以为边、点D为直角顶点作，点M为的中点，连接，则的最小值为_______．

【答案】
【分析】作线段CD的垂直平分线EF，交DC于点F，交AD于点E，证明CE=ED，且CE⊥DE，连接MD，证明点M在直线EF上，从而化MB的最短距离为垂线段最短计算即可．
【解析】解：作线段CD的垂直平分线EF，交DC于点F，交AD于点E，
∴CE=ED，
∵∠ADC=45°，CE=ED，
∴∠DCE=45°，∠CEF=45°，∠DEF=45°，
∴∠CED=90°，

∵AC=4，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=8，BC=，
∴CE=，
∴AE=2，
∴BE=AB-AE=8-2=6
连接MD，
∵M是CP的中点，∠CDP=90°，
∴MC=MD，
∴点M在直线EF上，
∴MB⊥EF时，MB最短，(根据垂线段最短,得到的)
∵∠EMB=90°，∠MEB=45°，∠DEF=45°，
∴∠MBE=45°，
∴ME=MB，
∴MB=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形的判定，垂线段最短原理，准确确定点M的位置，选择垂线段最短原理是解题的关键．
32．（2022·陕西·西北大学附中八年级期末）如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）

【答案】①②③
【分析】由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA）， 结合 可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP， 可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④；
【解析】解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°， ∴，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE= ，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP， BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，


在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，

，故②正确，
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△AED，故③正确，
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．