2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题02 勾股定理与全等结合的压轴题（含答案解析）

这是一份2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题02 勾股定理与全等结合的压轴题（含答案解析），共48页。试卷主要包含了阅读理解等内容，欢迎下载使用。
专题02 勾股定理与全等结合的压轴题
1．（1）如图1，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与BC相交于点F，
①试猜想线段DE、EF之间的数量关系，并说明理由；
②试猜想线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点F落到BC的延长线上时，请直接写出线段CE、CD、CF之间的数量关系．

2．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．

(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
3．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．
4．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？

5．如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．

(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)如图2，连接CD，若BD=13，CD=5，DE=12，求∠ADC的度数．
(3)如图3，取BD，CE的中点M，N，连接AM，AN，MN，判断△AMN的形状，并说明理由．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．

（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
7．如图，∠MON＝90°，A是射线OM上一点且OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上匀速运动．连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角三角形PCQ．设P、Q两点运动时间为ts，其中0＜t＜8．
（1）OP＋OQ＝________cm；
（2）连接AC，判断OAC的形状，并说明理由；
（3）是否存在实数t，使得线段PQ的长度最小？若存在，求出t的值及PQ2的最小值；若不存在，说明理由．

8．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=4，EC=3，
①求证：AF⊥BD ； ②AF的长度为 直接写出答案）；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，则∠FCD+∠FEC= （直接写出答案）

9．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．
思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．

（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．
（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝ ．
10．已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，且AD＝A'D'．
（1）如图①，当AB＝AC时，求证：△ABC≌△A'B'C'

（2）如图②，当AB≠AC时，△ABC与△A'B'C'不一定全等．请画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC不全等．并在图中作出适当的标注或必要的文字说明．

（3）在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为 ．
11．（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；

（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝12，CN＝16，则MN的长为______ ．
12．【情景呈现】
画，并画的平分线．
（1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“”或“=”）
（2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3．
①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）
②猜想之间的关系为___________．
【拓展延伸】
（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由．

13．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
14．如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．

(1)求证：；
(2)求证：．
15．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．



答案与解析
1．（1）如图1，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与BC相交于点F，
①试猜想线段DE、EF之间的数量关系，并说明理由；
②试猜想线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点F落到BC的延长线上时，请直接写出线段CE、CD、CF之间的数量关系．

【答案】（1）①DE=EF，理由见解析；②，理由见解析
（2）
【分析】（1）①连接BE，如图（见详解），根据正方形的性质利用边角边证明，得到，再由两角互余的关系，以及邻补角和四边形的内角和证出，等角对等边可得，线段等量代换可证DE=EF；②过点E作交CB的延长线于点G，如图（见详解），根据等腰直角三角形的性质，利用角角边可证，得到，，再利用勾股定理算出，由此可以证明结论；
（2）过点E作交CB于点G，如图（见详解），根据等腰直角三角形的性质，利用角边角可证，得到，，再利用勾股定理算出，由此可以证明结论．
【详解】解：（1）①DE=EF，理由如下：
连接BE，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
且，
∴，
∴，
∴，
∴DE=EF；
②，理由如下：
过点E作交CB的延长线于点G，如图所示，

∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴，
∴，．
又∵等腰直角中，，
∴；
（2），理由如下：
过点E作交CB于点G，如图所示，

∵，
∴，即是等腰直角三角形．
∵，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴，．
又∵等腰直角中，，
∴．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是要熟练地掌握相关性质和判定定理，并能够分析出几何图形中有关线段和角之间的关系，作出辅助线构造全等三角形．
2．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．

(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF；
(2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4.

【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；
（2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；
②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可．
（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：延长DF交AB于H，连接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中点，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH为等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠FAD=∠ADF=45°，即△ADF为等腰直角三角形，∴AD=DF;
（2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中点，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延长ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，∴AD=DF．②由①知，S△ADF=DF2=AD2，由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线．
3．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①∠C=23°；②BC=

【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，得32-x2=52-（3+x）2，解方程即可．
(1)
解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数；

(2)
证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)
①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，
Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，
∴32-x2=52-（3+x）2，
解得，x=，
∴BC=×2+3=．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
4．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？

【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论；
（3）当P、Q两点之间的距离为时，分四种情况讨论：点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧；点P在AB上，点Q在BC上，分别求得t的值并检验即可．
【详解】解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2＋BC2＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，
；
如图，当点P在AB上时，分两种情况：

若BP＝BC＝6，则AP＝4，
故t＝（8＋4）÷2＝6秒；
若CP＝CB＝6，作CM⊥AB于M，则
×AB×MC＝×BC×AC，
×10×MC＝×6×8，
解得MC＝4.8，
∴由勾股定理可得PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，
∴AP＝2.8，
故t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．
综上所述，当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；
（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），

由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，
解得t＝；
②当点P在AB上，点Q在BC上时，
当P运动到A点时，t=4，
此时PQ=，
当Q运动到B点时，t=6，
此时PQ的长为10-2×（6-4）=6，
∴PQ的长大于6且小于，不符合题意；
③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（8＜t≤9），
由题可得：2t＋t−24＝，
解得t＝，
∵t＝>9，
∴不成立，舍去．
④如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（6≤t＜8），

由题可得：24−2t−t＝，
解得t＝；
综上所述，当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理的应用以及等腰三角形的判定与性质的运用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
5．如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．

(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)如图2，连接CD，若BD=13，CD=5，DE=12，求∠ADC的度数．
(3)如图3，取BD，CE的中点M，N，连接AM，AN，MN，判断△AMN的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)45°
(3)等腰直角三角形

【分析】（1）根据SAS证明即可；
（2）通过全等三角形的性质证得BD=CE，再根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质即可求解；
（3）根据全等三角形的性质可证得AM=AN，，由此不难判断△AMN的形状．
（1）
证明：，
，即，
，

（2）
解：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，’

（3）
解：△AMN是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）知，，，
点M，N是BD，CE的中点，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据图形灵活运用图形的性质是解题的关键．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．

（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）t＝1或或；（3）存在，△PAE是直角三角形时t＝或
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠PDC＝∠∠BCD，根据角平分线的定义可得∠PCD＝∠BCD，则∠PCD＝∠PDC，即可得到PC＝PD；
（2）分当BP＝BC＝4cm时，当PC＝BC＝4cm时，当PC＝PB时三种情况讨论求解即可；
（3）分当∠PAE＝90°时，当∠APE＝90°时，当∠AEP＝90°时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵l∥BC，
∴∠PDC＝∠∠BCD，
∵CD平分∠BCP，
∴∠PCD＝∠BCD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，，，
∴，

若△PBC是等腰三角形，存在以下三种情况：
①当BP＝BC＝4cm时，作PH⊥BC于H，
∵∠ACB＝90°，l∥BC，
∴∠ACH=∠CAP=90°，
∴四边形ACHP是矩形，
∴PH＝AC＝3cm，
由勾股定理
∴，
∴，即，
解得，
②当PC＝BC＝4cm时，
由勾股定理，即，
解得；
③当PC＝PB时，P在BC的垂直平分线上，
∴CH＝BC＝2cm，
∴同理可得AP＝CH＝2cm，
即2t＝2，
解得t＝1，
综上所述，当t＝1或或时，△PBC是等腰三角形；
（3）∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PD＝PE，∠ECP=∠DCP，
由（1）知，PD＝PC，
∴PC＝PE，
要使△PAE是直角三角形，则存在以下三种情况：
①当∠PAE＝90°时，

此时点C、A、E在一条直线上，且AE＝AC＝3cm，
∵CD平分∠BCP，
∴∠ECP=∠DCP=∠BCD，
∴∠ACP＝∠ACB＝30°，
∴，
∵，即，
∴即2t＝，
解得；
②当∠APE＝90°时，
∴∠EPD=90°
∵D、E关于直线CP对称，
∴∠EPF=∠DPF=45°，
∴∠APC=∠DPF=45°，
∵l∥BC，
∴∠CAP=180°-∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，
∴AP=AC=3cm，
∴，
∴；

③当∠AEP＝90°时，

在Rt△ACP中，PC＞AP，
在Rt△AEP中，AP＞PE，
∵PC＝PE＝PD，
故此情况不存在，
综上，△PAE是直角三角形时或．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
7．如图，∠MON＝90°，A是射线OM上一点且OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上匀速运动．连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角三角形PCQ．设P、Q两点运动时间为ts，其中0＜t＜8．
（1）OP＋OQ＝________cm；
（2）连接AC，判断OAC的形状，并说明理由；
（3）是否存在实数t，使得线段PQ的长度最小？若存在，求出t的值及PQ2的最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）8；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在，t＝4，PQ2的最小值为32
【分析】（1）由题意得出OP＝8－t，OQ＝t，则可得出答案；
（2）由等腰直角三角形PCQ可得∠PCQ＝90°，CP＝CQ，再结合∠MON＝90°，可证得∠CPA＝∠CQO，由此可证得CQO≌CPA（SAS），再根据全等三角形的性质即可证得等腰直角三角形OAC；
（3）先根据等腰直角三角形的性质可将求线段PQ的最小值转化为求线段CP的最小值，再根据垂线段最短可得当CP⊥OA时，CP取得最小值，由此即可求得答案．
【详解】解：（1）由题意可得：OQ＝AP＝t，
∵OA＝8cm，
∴OP＝OA－AP＝8－t，
∴OP＋OQ＝8－t＋t＝8（cm），
故答案为：8；
（2）OAC为等腰直角三角形，理由如下：

∵PCQ为等腰直角三角形，
∴∠PCQ＝90°，CP＝CQ，
又∵∠MON＝90°，
∴∠CQO＋∠CPO＝360°－∠MON－∠PCQ＝180°，
又∵∠CPA＋∠CPO＝180°，
∴∠CPA＝∠CQO，
由题意可得：OQ＝AP＝t，
∴在CQO与CPA中，

∴CQO≌CPA（SAS），
∴OC＝AC，∠OCQ＝∠ACP，
∴∠OCQ＋∠OCP＝∠ACP＋∠OCP，
即：∠PCQ＝∠ACO＝90°，
∵∠ACO＝90°，OC＝AC，
∴OAC为等腰直角三角形；
（3）∵PCQ为等腰直角三角形，
∴PQ2＝CP2＋CQ2＝2CP2，
∴要使得线段PQ的长度最小，则线段CP的长度最小即可，
如图，过点C作CH⊥OA，垂足为点H，

∴当点P与点H重合时，CP即可取得最小值，
∵OAC为等腰直角三角形，CH⊥OA，OA＝8cm，
∴CH＝AH＝OA＝4，
∴CP的最小值为4，此时t＝4，
∴此时PQ2的最小值＝CP2＋CQ2＝2CP2＝32，
∴存在实数t，使得线段PQ的长度最小，此时t的值为4，PQ2的最小值为32．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
8．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=4，EC=3，
①求证：AF⊥BD ； ②AF的长度为 直接写出答案）；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，则∠FCD+∠FEC= （直接写出答案）

【答案】（1）①见解析； ②AF=5.6；（2）见解析；（3） 45°
【分析】（1）①证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；
②根据勾股定理求出BD，利用△ABD的面积的两种表示方法，即可解答；
（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠BFC=45°，根据三角形外角的性质即可得到∠FCD+∠FEC=45°．
【详解】（1）①证明：如图1，

在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD；
②∵∠ECD=90°，BC=AC=4，DC=EC=3，
∴BD==5，
∵S△ABD=AD•BC=BD•AF，
即×(4+3)×4=×5•AF，
∴AF=5.6；
（2）证明：如图2，

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE≌△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD；
（3）∠FCD+∠FEC=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，∠FEC=∠FDC，
∵S△ACE=AE•CN，
S△BCD=BD•CM，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠BFC=45°，
∴∠FCD+∠FEC=∠FCD+∠FDC=∠BFC=45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的判定和性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△BCD，得到三角形的面积相等，对应边相等．
9．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．
思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．

（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．
（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝ ．
【答案】（1）∠APB＝150°；完整的解答过程见解析；（2）EF＝10；（3）7．
【分析】（1）根据将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'，可得AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，可证△AP P′为等边三角形，得出P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，根据勾股定理逆定理，得出△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°即可；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，可得由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，先证△EAF≌△E′AF（SAS），再根据勾股定理得，，即，求出EF即可；
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，先利用30°直角三角形性质求出AB＝2，，利用勾股定理求出，再证△BOO′是等边三角形，证明C、O、A′、O′四点共线，可证∠A′BC＝∠ABC+∠ABA′＝30°+60°＝90°，利用勾股定理在Rt△A′BC中，，得出OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝即可．
【详解】解：（1）∵将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
∴P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
∵，
∴△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴EF= E′F，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，，
即，
∵BE＝8，CF＝6，
∴．

（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴∠OBO′=∠ABA′=60°，OA=O′A′，AB=A′B，OB=O′B，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∴A′B＝AB＝2，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝120°+60°=180°，
∴点C，O，O′三点共线，
∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴点O、O′、A′三点共线
∴C、O、A′、O′四点共线，
∵∠ABC＝30°，∠ABA′=60°
∴∠A′BC＝∠ABC+∠ABA′＝30°+60°＝90°，
在Rt△A′BC中，，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝，
∴（OA+OB+OC）2＝7，
故答案为：7．

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等判定与性质，直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握旋转的性质，正确得出对应边和对应角，和相关知识是解题关键．
10．已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，且AD＝A'D'．
（1）如图①，当AB＝AC时，求证：△ABC≌△A'B'C'

（2）如图②，当AB≠AC时，△ABC与△A'B'C'不一定全等．请画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC不全等．并在图中作出适当的标注或必要的文字说明．

（3）在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60或42
【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△A'B'D'，Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，得到∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，利用“AAS”证明△ABC≌△A'B'C'即可；
（2）根据题意画图即可；
（3）分两种情况：①当BC边上的高AD在△ABC的内部时，根据勾股定理求出BD、DC的长，继而可得BC的长，然后计算△ABC的周长即可；②当BC边上的高AD在△ABC的外部时，根据勾股定理求出BD、DC的长，继而可得BC的长，然后计算△ABC的周长即可．
【详解】（1）证明：∵AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高
∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90°
∵在Rt△ABD和△RtA'B'D'中，∠ADB＝∠A'D'B'＝90°，AB＝A'B'，AD＝A'D'
∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'（HL）
∴∠B＝∠B'
同理可得∠C＝∠C'
∵在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，AC＝A'C'
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）
（2）解：反例如图．
如图，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD＝A'D'，
但△ABC与△A'B'C'不全等．

（3）解：①如图，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，

在Rt△ABD中，BD=，
在Rt△ACD中，DC=，
∴BC=BD+DC=16+9=25，
∴△ABC的周长为20+15+25=60；
②如图，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，

在Rt△ABD中，BD=，
在Rt△ACD中，DC=，
∴BC=BD-DC=16-9=7，
∴△ABC的周长为20+15+7=42．
综上，△ABC的周长为60或42．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟记各个性质是解题的关键．
11．（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；

（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝12，CN＝16，则MN的长为______ ．
【答案】（1）EF=BE+FD；（2）仍然成立，说明见详解；（3）20
【分析】（1）延长DC作辅助线DG=BE，再证明△ADG≌△ABE，再由△ADG≌△ABE得到条件AG=AE，∠GAF=∠EAF证明△GAF≌△EAF，进而得出EF=GF=GD+DF=BE+DF．
（2）延长DC作辅助线DH=BE，再证明△ADH≌△ABE，再由△ADH≌△ABE得到条件AH=AE，∠BAE=∠DAH证明△HAF=△EAF，进而得出EF=HF=HD+DF=BE+DF．
（3）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE=BM．连接AE、EN．先证明△ABM≌△ACE，再证明△AMN≌△AEN，再根据勾股定理求出NE，再根据全等，MN=NE求出MN．
【详解】解：（1）

在△ADG和△ABE中

∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴BE=DG
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°



在△AGF和△AEF中

∴△AGF≌△AEF（SAS）
∴GF=EF=GD+DF=BE+DF；
（2）在CD的延长线上取DH=BE，连接AH如下图：

∵∠B+∠ADC=180°；∠ADH+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADH
在△ABE与△ADH中

∴△ADH≌△ABE（SAS）
∴∠HAD=∠BAE，AH=AE
∵∠BAE+∠FAD=∠HAD+∠FAD=∠EAF=∠BAD
在△AHF和△AEF中

∴△AHF和△AEF（SAS）
∴HF=EF=HD+DF=BE+DF
（3）如下图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°
∵CE⊥BC
∴∠ACE=∠B=45°
在△ABM和△ACE中
∵
∴ △ABM≌△ACE（SAS）
∴∠MAB=∠EAC；AM=AE
∴∠MAB+∠CAN=∠EAC+∠CAN=45°
∴∠MAN=∠EAN=45°
在△MAN和△EAN中
∵
∴△MAN≌△EAN（SAS）
∴CE=BM=12
又∵NC=16，△NEC为Rt△，
∴MN=NE===20
【点睛】本题考查SAS全等三角形的判定与性质利用，同时也考查了勾股定理，熟练掌握这些知识点，并知道正确地添加辅助线是本题解题关键．
12．【情景呈现】
画，并画的平分线．
（1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“”或“=”）
（2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3．
①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）
②猜想之间的关系为___________．
【拓展延伸】
（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由．

【答案】（1）=；（2））PE=PF，理由见解析；（3）①3对；②GE2+FH2=EF2；（4）PE=PF，理由见解析．
【分析】（1）由全等三角形的判定和性质证明PE=PF；
（2）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（3）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；
②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
（4）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PE⊥OA，
∴∠OEP=90°，
∵∠AOB=90°，∠EPF=90°
∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，
∴∠OEP=∠OFP
又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP
∴△OEP≌△OFP（AAS），
∴PE=PF，
故答案为：=；
（2）PE=PF，
理由是：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，

∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
与（1）同理可证PM=PN，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF；
（3）①∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，
∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
同理可证明△EPO≌△FPH，
∵
∴△GPO≌△OPH（SAS），
∴全等三角形有3对，
故答案为：3；
②GE2+FH2=EF2，
理由如下：∵△GPE≌△OPF，
∴GE=OF，
∵△EPO≌△FPH，
∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案为：GE2+FH2=EF2；
（4）PE=PF；
理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．

在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，

∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．
【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题．
13．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
【答案】（1）②；（2）见详解；（3）①见详解；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，则∆ BMC是等腰直角三角形，再证明∆ABP≅∆DMP，进而即可得到结论；
（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，即可；②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AG，DH的值，再证明∆GAP≅∆HPD，设PE=m，PF=n，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴，
∴腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”，
故答案是：②；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，
∵，
∴∠BMC=90°，即∆ BMC是等腰直角三角形，
∵为的中点，
∴BP=CP=MP，MP⊥BC，∠PMC=∠PMB=45°，
又∵，
∴∠APB+∠APM=∠DPM+∠APM=90°，
∴∠APB=∠DPM，
在∆ABP和∆DMP中，
∵，
∴∆ABP≅∆DMP（ASA），
∴AP=DP，
∵点Q是AD的中点，
∴是的“周长平分线”；

（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，则EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴点E，F即为所求；

②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
则∠AGB=∠AGP=∠DHC=∠DHP=90°，
∵∠B=∠C =45°，∠AGB=∠DHC=90°，
∴∆AGB和∆DHC都是等腰直角三角形，且AG=BG，DH=CH，
又∵，，
∴AG=BG==，DH=CH=，
∵∠GAP+∠APG=∠HPD+∠APG=90°，
∴∠GAP=∠HPD，
在∆GAP和∆HPD中，
∵，
∴∆GAP≅∆HPD，
∴AG=PH=1，PG=DH=2，
∵EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴PE=AE，PF=DF，
设PE=m，则AE=m，EG=PG-PE=2-m，设PF=n，则DF=n ，FH=PF-PH=n-1，EF=PE+PF=m+n，
在Rt∆DHF中，根据勾股定理得：，解得：n=，
在Rt∆AGE中，根据勾股定理得：，解得：m=，
∴EF=m+n=+=．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键．
14．如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，根据角的和差关系可得，利用SAS即可证明△CEA≌△CDB；
（2）根据△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根据勾股定理即可得结论．
(1)
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，，
∴．
(2)
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
15．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)A
(2)1＜AD＜7
(3)见解析
(4)BE2+CF2＝EF2，证明见解析

【分析】[问题情境]
(1)根据全等三角形的判定定理解答；
(2)根据三角形的三边关系计算；
[初步运用]
延长AD到M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
[灵活运用]
延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根据勾股定理解答．
(1)
解：在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
故选：A；
(2)
解：由(1)得：△ADC≌△EDB，
∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB−BE