2022湖北省部分省级示范高中高二上学期期中测试数学试卷含解析

湖北省部分省级示范高中2021~2022学年上学期期中测试

高二数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中既不是确定事件又不是不可能事件的是（    ）

A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②④

【答案】A

【解析】

【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.

【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；

因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；

因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；

某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，

所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.

故选：A

2. 若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ）

A. 0或3 B. -1或-2 C. 3 D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．

【详解】将代入圆方程，得，解得或0，

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意.

所以.

故选：C．

3. 从某班级中任意选出三名学生，设“三名学生都是女生”，“三名学生都不是女生”，“三名学生不都是女生”，则下列结论不正确的是（    ）

A. 与为互斥事件 B. 与互为对立事件

C. 与存在包含关系 D. 与不是对立事件

【答案】B

【解析】

【分析】列举出事件所包含的基本情况，可判断各选项的正误.

【详解】事件的可能情况有：一女二男、二女一男、三男，事件为“三男”，

故与为互斥事件，A对；

与为互斥事件，但不互为对立事件，B错；

与存在包含关系，C对D对.

故选：B.

4. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B. 0 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理求出，可证，再建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算即可求解.

【详解】因为直三棱柱中，，，，

在中，由余弦定理可得：，

，，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为0

故选：B.

5. 经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为（其中为圆周率）”.某试验者用一根长度为2cm的针，在画有一组间距为3cm平行线所在的平面上投掷了n次，其中有180次出现该针与平行线相交，并据此估算出的近似值为，则（    ）

A 300 B. 450 C. 600 D. 750

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何概型的面积类型求解.

【详解】由题意得：，

所以，

解得，

故选：B

6. 在空间直角坐标系中，已知点，点A关于平面对称的点为B，点A关于x轴对称的点为C，则的面积为（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间中的对称求出坐标，再根据两点之间的距离求出长度，利用勾股定理证得三角形为直角三角形，进而求得面积.

【详解】由题意可得，点关于平面对称点为，

点关于x轴对称的点为，

，，即为直角三角形，

所以的面积为

故选：B

7. 已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（    ）

A.  B. 9 C. 7 D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为．

，

又，，

．

点关于轴的对称点为，

，

所以，，

故选：B．

8. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.

【详解】解：如图所示，因为，，

可得平面，直线，

当最短时，平面，且，

所以为的中心，为的中点，如图所示，

又由正四面体的棱长为1，所以，，

所以，

因为平面，所以，

所以中，，

所以

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（    ）

A. 同时抛掷两枚骰子，向上的点数和为奇数，小明获胜，向上的点数和为偶数，小华获胜

B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C. 从一副不含大小王的52张扑克牌中抽取一张，抽到红心，小明获胜，抽到方片，小华获胜

D. 小明、小华两人各写一个数字0或1，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【答案】ACD

【解析】

【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项．

【详解】对于A，同时抛掷两枚骰子，一共36种情况，向上的点数和为奇数的概率为，向上的点数和为偶数的概率为，所以游戏公平

对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平；

对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红心的概率为，扑克牌是方片的概率为，所以游戏公平；

对于D，小明､小华两人各写一个数字0或1，一共四种情况：（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）；两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平．

故选：ACD．

10. 下列说法不正确的是（    ）

A. 经过，两点的直线的方向向量为，则

B. “或-1”是“直线与直线互相平行”的充要条件

C. 直线的倾斜角的取值范围是

D. 过，两点的直线方程为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据直线的方向向量定义判断A,根据直线平行公式判断B,根据斜率和倾斜角的关系判断出C,根据两点式的限制条件判断D即可得出结果.

【详解】对于A,由已知可得,则可看作经过两点的直线的方向向量，则，A正确；

对于B，若与互相平行，则有：，解得或-1（舍），B错误；

对于C，，时斜率不存在，此时直线倾斜角为，时，，则， 时，.即倾斜角取值范围,综上倾斜角,C错误.

对于D，必须在且的条件下才成立，无此条件，则D错误.

故选：BCD.

11. 正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（    ）

A. 直线与直线垂直

B. 直线与平面平行

C. 直线与平面所成角的余弦值为

D. 点C和点G到平面的距离相等

【答案】AB

【解析】

【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量逐项分析判断作答.

【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令棱长，

则，

，则，即，直线与直线垂直，A正确；

，令平面的法向量，则，

令，得，而，，平面，而平面，则平面，B正确；

，，所以直线与平面所成角的正弦值为，C不正确；

，则点C和点G到平面的距离分别为：，，D不正确.

故选：AB

12. 已知曲线的方程为，圆，则（    ）

A. 表示一条直线

B. 当时，与圆有3个公共点

C. 当时，存在圆，使得圆与圆相切，且圆与有2个公共点

D. 当与圆的公共点最多时，的取值范围是

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可

【详解】解：对于A选项，由，得，即，则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；

对于B选项，因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确；

对于C选项，当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与直线相交，与直线相离，圆与有2个公共点，所以C正确；

对于D选项，当时，圆与直线、 交于一点，所以公共点的个数为3，与与圆的公共点最多为4个矛盾，所以D错误，

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知两条平行直线与间的距离为1，则_____________.

【答案】或##或

【解析】

【分析】直接利用两平行线之间的距离公式列方程，解方程即可求解.

【详解】因为两条平行直线与间的距离为，

所以，即，解得或，

故答案为：或.

14. 从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意将事件A的基本事件一一列出即可得解.

【详解】长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条，

则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是：

（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9），

所以事件A包含的样本点个数为4个.

故答案为：4

15. 甲、乙两位同学参加100米达标训练，下面分别是这两位同学5次训练的成绩（单位：秒）

甲：11.6；12.2；13.2；13.9；12.6   

乙：12.1；11.3；12.0；12.9；12.7

从甲、乙5次训练成绩中各抽取一次，则抽取的成绩中仅有一次比12.8秒强的概率为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】先计算出甲乙成绩比12.8秒强的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解.

【详解】甲的5次训练成绩中比12.8秒强的有2次，概率为；

乙的5次训练成绩中比12.8秒强的有1次，概率为

抽取的成绩中仅有一次比12.8秒强的的概率

故答案为：

16. 已知正四面体的棱长为3，底面所在平面上一动点P满足，则点P运动轨迹的长度为_______________；直线与直线所成的角的取值范围为______________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用正四面体的性质求得，可知点P在以为圆心，为半径的圆上运动，可求得其运动轨迹长，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线所成的角的余弦值的范围，进而求得角的范围.

【详解】设底面正的中心为，连接

为正四面体，底面，

又正四面体的棱长为3，

在直角中，

即点P运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上运动，因此运动轨迹长度为；

以为原点，为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，设，且

设直线与直线所成角为，则，

则

又，，又，，

即直线与直线所成的角的取值范围为

故答案为：，

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知点.

（1）求过点P且与原点的距离为1的直线的方程；

（2）是否存在过点P且与原点的距离为4的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）或   

（2）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）当直线的斜率不存在时，方程符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线距离公式能求出直线方程；

（2）由原点到过点的直线的最大距离可得答案．

【小问1详解】

①当直线的斜率不存在时，方程符合题意．
②当直线的斜率存在时，设斜率为，

则直线方程为：，即．
根据题意，得，解得．
则直线方程为．
故符合题意的直线方程为或．

【小问2详解】

不存在．理由：由于原点到过点的直线的最大距离为，
而，故不存在这样的直线．

18. 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.

（1）试用、、表示；

（2）求的长度.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件结合空间向量的线性运算计算作答.

(2)用、、表示出，借助空间向量数量积运算计算作答.

【小问1详解】

平行六面体中，，，，因，于是得：

，

所以.

【小问2详解】

平行六面体中，，，

，

因，且底面是正方形，，，

则有，，同理，，

因此，，

所以的长度是.

19. 已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现将这五个小球随机编号为1，2，3，4，5，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B.

（1）求时的概率；

（2）记，求时的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；

（2）由已知条件可得，所有可能取值为1，3，5，7，9，求出对应的概率，再根据概率和为1列式即可求解．

【小问1详解】

从1，2，3，4，5这5个编号中，随机选3个分配给红色小球，

有共10种选法，

其中红色小球的编号为8的有1，2，5或1，3，4，共2种情况

则；

【小问2详解】

必然一奇一偶，故为奇数

即所有可能的取值为，

当时，或或

则

.

20. 如图，在四棱锥中，，，，平面，点F在线段上运动.

（1）若平面，请确定点F的位置并说明理由；

（2）若点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）F为BD的中点，证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由为的中点，取的中点，连接易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由求解.

【小问1详解】

为的中点.

如图：

取的中点，连接

∵，分别为，的中点，

∴且

∵且

∴平行且等于

∴四边形为平行四边形，则

∵平面ABC，平面ABC

∴平面ABC

小问2详解】

由题意知，平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，

取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为三角形为等腰三角形，易求，

则，，

所以，， 

设平面的一个法向量为，

则，即，解得

设平面的一个法向量为，

则，即，解得

设二面角为，则，

因为二面角为锐角，所以余弦值为.

21. 如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.

（1）求方案①中从A到C的电路为通路的概率.（用p表示）；

（2）分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率、（用p表示）；比较与的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.

【答案】（1）；   

（2），；，按方案①的连接方案更稳定可靠.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算作答.

(2)利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算出、，再作差比较大小作答.

【小问1详解】

方案①中，从A到C的电路为通路即是两个电子元件至少一个正常工作，

当电子元件都不正常时，即从A到C的电路不通的概率为，

所以从A到C的电路为通路的概率.

【小问2详解】

方案①中，由(1)知，从C到B的电路为通路的概率为，

从A到B的电路系统正常工作必须是从A到C的电路和从C到B的电路都为通路，

于是得，

方案②中，每一个支路中的两个电子元件都正常工作，该支路即为通路，其概率为，

由(1)知，从A到B的电路系统正常工作的概率为，

而，则，即，

所以按方案①的连接方案更稳定可靠.

22. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心的圆截直线所得线段的长度为.

（1）求圆O的方程；

（2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求t的值；

（3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）   

（3）存在定点，，理由见解析

【解析】

【分析】（1）设圆O的方程为，再利用垂径定理计算可得答案；

（2）设，联立直线和圆的方程，利用韦达定理及向量的坐标运算代入计算可得答案；

（3）假设存定点Q，设，设，利用坐标计算，然后列方程求解即可.

【小问1详解】

设圆O的方程为，

由垂径定理可得，则，

即圆O的方程为；

【小问2详解】

设，

联立，消去得，，得

则，，

解得；

【小问3详解】

假设存在定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）

由已知直线的方程为，设，

设，则，

，

则，解得，取负值和的舍去；

故存在定点，使得对圆O上任意一点P，都有.