八年级人教版上册数学同步讲义 第二讲 与三角形有关的角

第二讲  与三角形有关的角【知识梳理】知识点1：三角形内角和定理 （1）定理：三角形三个内角的和等于180°，即可以表示为：在中，有.（2）定理的推导　　三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来．由180°可联想到①平角；②邻补角；③两直线平行，同旁内角互补，现举几种常见的证明思路：验证：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角。　　　　　　　　            推论： 直角三角形中，两锐角互余。即： 直角 △A B C 中∠C =90°，  则∠A +∠B =90 °证明思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），　 　　　　所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．　 　　　　又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．　　　　　　　思路2：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；　 　　　　在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角。　　　　　　　另外还有几种其他的证明方法，同学们你想到了吗？    【经典例题】例1 如图11-2-1所示，在中，，．求，，的度数．    变式训练1：1、在中，，，则的度数为（      ） A．        B．       C．      D．  2、已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（    ）　 A．60°　　　 B．75°　　　 C．90°　　　 D．120° 3、若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为(    ).    A．40°      B．80°        C．60°       D．120° 【例题2】如图所示，直线∥，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为(    ).   A．50°       B．55°       C．60°        D．65°  变式训练2：1、如图,将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后,∠1+∠2等于(　　)
 A. 225°             B. 235°             C. 270°             D. 与虚线的位置有关           2、如图,已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,则∠BED的度数是(　　)
 A. 63°              B. 83°              C. 73°              D. 53°             3、一个三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7,这个三角形一定是 (　　)A. 直角三角形             B. 等腰三角形             C. 锐角三角形             D. 钝角三角形          3、根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数． 知识点2：直角三角形的性质与判定（1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 （1）直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”。但是“Rt△”后面必须接三个字母，不能单独使用。 （3）性质：直角三角形的两锐角互余。如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°                                                （4）判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形。注意：这两个锐角要在同一个三角形中②利用定义进行判定，如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么△ABC是直角三角形。 （5）直角三角形的性质与判定的区别与联系区别：性质中直角三角形是条件，两锐角的关系是结论，判定中的两角的关系是条件，直角三角形是结论；联系：性质和判定的理论依据都是三角形内角和定理。 （6）拓展    直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边，有两条边相等的直角三角形，叫做等腰直角三角形。 【经典例题】【例题1】如图11-2-2，已知，，与点，求的度数．   变式训练1：如图，在与中，，与相交于点，则与的大小关系是（    ）  A．         B．C．          D．无法确定  【例题2】把一个直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（      ）    A．        B．         C．       D．   变式训练2：1、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为（      ）    A．        B．        C．        D．   2、将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是（      ）    A．          B．          C．       D．      知识点3：三角形的外角及其性质(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．          (2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示． (3)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．    【例题1】如图所示，在中，，在的延长线上，，求的度数． 变式训练1：1、如图，在中，，点是延长线上一点，，则             ． 2、如图，在中，是延长线上的一点，，，则等于（      ）   A．           B．        C．        D．  【例题2】如图，，，则为（    ）   A．            B．        C．        D．  变式训练2：1、一次数学活动课上，老师将一副三角板按如图方式叠放，则等于        ．     2、如图11-2-13，，，，则的度数为（     ）   A．         B．         C．          D．   【课堂训练】1、已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是(    ).    A．直角三角形      B．等边三角形    C．钝角三角形      D．等腰三角形 2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝(    ).A．80°    B．90°    C．100°    D．110° 3、若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是(    ).A．直角三角形    B．锐角三角形    C．钝角三角形    D．等边三角形 4、如图11-2-11，已知，和相交于点，，，则等于（      ）A．       B．        C．       D．   5、一副分别含有30°和45°角的两个直角三角尺，拼成如图所示的图形,其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是(　　)
 A. 15°             B. 25°             C. 30°             D. 10°         6、如图，已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,则∠BED的度数是(　　)
 A. 63°             B. 83°             C. 73°             D. 53°              7、如图,下列关于△ABC的外角的说法正确的是(　　)
  A. ∠HBA是△ABC的外角             B. ∠HBG是△ABC的外角             
 C. ∠DCE是△ABC的外角             D. ∠GBA是△ABC的外角          8、如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,∠A=50°,则∠D的度数是　(　　)
 A. 30°             B. 40°             C. 35°             D. 25°               9、如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD.若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于(　　)A．40°     B．45°     C．50°     D．55° 10、将一副三角尺按图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是(　　)A．45°     B．60°     C．75°     D．85°  11、如图，在四边形ABCD中,∠A=45°,直线l与边AB,AD分别相交于点M、N，则∠1+∠2=　　　　.
  12、如图,AB∥CD,AD与BC交于点E,EF是∠BED的平分线,若∠1=30°,∠2=40°,则∠BEF=________度.
  13、如图,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC的度数为　　　　.
    14、如图,直线a∥b,EF⊥CD于点F,∠2=65°,则∠1的度数是　　　　.
  15、如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4=　　　　.
  16、如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOC+∠BOD=_______.
  17、如图11-2-4所示，在中，，，是边上的高，平分，求的大小．        18、如图11-2-5，于，，，求和．          【课后训练】一、选择题1、如图，下列各角是△ABC的外角的是(　　)A．∠1     B．∠2     C．∠3     D．∠42、如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的度数为(　　)A．110°     B．80°     C．70°      D．60°3、在△ABC中，∠B，∠C处的外角度数分别是135°和105°，那么∠A的度数为(　　)A．30°     B．45°     C．60°     D．90° 4、三角形三个内角度数比为1∶2∶2,则三个内角度数分别为　　(　　)A. 36°,36°,72°             B. 18°,36°,36°             C. 36°,72°,72°             D. 18°,18°,36°       5、如图所示,∠A=28°,∠BFC=92°,∠B=∠C,则∠BDC的度数是　　(　　)
 A. 85°             B. 75°             C. 64°             D. 60°            6. 设∠1，∠2，∠3是某三角形的三个内角，则∠1+∠2， ∠2+∠3 ，∠3+∠1 中（ ）.　　A.有两个锐角、一个钝角 　　　　B.有两个钝角、一个锐角　　C.至少有两个钝角　　　　　　　 D.三个都可能是锐角 7. 已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（ ）.　　A.等腰直角三角形 　　　　B.一般的等腰三角形 　　C.等边三角形　　　　　　 D.等腰钝角三角形 8. 如图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（ ）.　　A.120° 　　　B.115° 　　　C.110° 　　　D.105° 9. 如图所示,在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（ ）.A.∠BDC=∠2+∠6+∠A 　　      B.∠2=∠5－∠A 　　C.∠5=∠1+∠4                 　D.∠1=∠ABC+∠4　　　　　　　　　　　　（第8题） 　　　　　　　　　（第9题） 　　　　　　（第10题）10. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，若∠1=∠2，则∠EDC的度数（ ）　　A.40°　　　 B.30° 　　　C.20°　　　 D.10° 二、填空题12.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______，此三角形为________三角形；(2)若∠A＝∠B+∠C，则此三角形为________三角形；(3)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形． 13.如图所示，已知三角形一个内角为40°，则∠1+∠2+∠3+∠4=_________.　　　　　　　　　　　　　　 　　14.如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=　　　　. 15.已知一副三角板如图(1)摆放,其中两条斜边互相平行,则图(2)中∠1=_______.
 16.如图,是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,这块三角形木板缺少的角是　　　　度. 17. 如图所示，∠ABC与∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.　　　　　　　       三、解答题21、如图所示,已知∠A=70°,∠B=40°,∠C=20°,求∠BOC的度数.   22.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．23. 如图,已知AB∥CD,∠1=∠F,∠2=∠E,试猜想AF与DE的位置关系,并证明你的结论.
 　　　　　　　　　　　　　　　   如图，，分别交、于、，与的平分线交于点．(1)求的度数；(2) 是什么三角形？请说明理由．