浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高三数学上学期第一次联考试题（Word版附答案）

浙南名校联盟2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题

选择题部分

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集, 集合, 则（）

A．           B．          C．          D．

2．若（为虚数单位）, 则（）

A．     B．

C．       D．

3．已知边长为3的正, 则（）

A． 3        B． 9       C．      D．6

4．直三棱柱的各个顶点都在同一球面上, 若, 则此球的表面积为（）

A．      B．       C．      D．

5．在新高考改革中, 浙江省新高考实行的是7选3的模式，即语数外三门为必考科目, 然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门．某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位: 人）

试根据小概率值的独立性检验, 分析物理和生物选课与性别是否有关（）

附:

A．选物理与性别有关，选生物与性别有关

B．选物理与性别无关，选生物与性别有关

C．选物理与性别有关，选生物与性别无关

D．选物理与性别无关，选生物与性别无关

6．等比数列的公比为q, 前n项和为，则以下结论正确的是（）

A． “q0”是“为递增数列”的充分不必要条件

B． “q1”是“为递增数列”的充分不必要条件

C． “q0”是“为递增数列”的必要不充分条件

D．“q1”是“为递增数列”的必要不充分条件

7．若, 则（）

A．        B．

C．         D．

8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍䠢”指底面为矩形．顶部只有一条棱的五面体．如图, 五面体是一个 “刍䠢”, 其中是正三角形, , , 则该五面体的体积为（）

A．        B．       C．         D．

二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列命题中正确的是（）

A．函数的周期是

B．函数的图像关于直线对称

C．函数在上是减函数

D．函数的最大值为

10．拋物线的焦点为, 过的直线交拋物线于两点, 点在拋物线上，则下列结论中正确的是（）

A．若, 则的最小值为4

B．当时,

C．若, 则的取值范围为

D．在直线上存在点, 使得

11．如图，是圆O的直径，与圆O所在的平面垂直且==2，为圆周上不与点重合的动点, 分別为点在线段上的投影, 则下列结论正确的是（）

A．平面平面

B．点在圆上运动

C．当的面积最大时，二面角-的平面角

D．与所成的角可能为

12．已知函数, 其中实数, 点, 则下列结论正确的是（）

A．必有两个极值点

B．当时, 点是曲线的对称中心

C．当时．过点可以作曲线的2条切线

D．当时, 过点可以作曲线的3条切线

非选择题部分

13．已知直线与圆相切, 则__________．

14．的展开式中不含的各项系数之和__________．

15．已知偶函数及其导函数的定义域均为, 记不恒等于0 , 且, 则__________．

16．已知椭圆, 点, 过点的直线与椭圆相交于两点, 直线的斜率分别为, 则的最大值为__________．

四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．在①且, ②且, ③正项数列满足+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答。

问题: 已知数列的前项和为，且__________?

（I）求数列的通项公式:

（II）求证: ．

18．记的内角的对边分别为, 已知．

（1）的值;

（2）若b=2，当角最大时，求的面积．

19．如图，在四棱锥．

（1）求证：

（2）求平面与平面的夹角的大小．

20．甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会。每答对一道题得10粒小豆。已知甲每题答对的概率均为, 乙第一题答对的概率为, 第二题答对的概率为．若乙有机会答题的概率为．

（1）求;

（II）求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望．

21．已知点在双曲线上．

（I）求双曲线的渐近线方程;

（II）设直线与双曲线交于不同的两点, 直线分别交直线于点．当的面积为时, 求的值．

22．已知函数与函数．

（I）若, 求的取值范围;

（II）若曲线与轴有两不同的交点, 求证: 两条曲线与共有三个不同的交点．

高三年级数学学科参考答案

选择题部分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上

13．  14．128  15．0  16．1

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）选择①

当时，

因此，

即，所以为常数列，因此，

所以．

选择②

得，

相减得，即数列隔项差为定值2，

令，则，所以．

所以数列是公差为1的等差数列，得．

选择③

当时，，即，

又，得．

当时，有，

所以，即．

又因为，所以，故为公差为1的等差数列，

得．

（Ⅱ）可得

当时

当时，不等式显然成立．

因此原不等式得证

补充说明：

（Ⅰ）问4分

1．无论选择①或②或③，递推关系的化简得2分（只要有作差过程都得2分），得到通项公式再得2分

2．若写出前几项得通项公式，无检验过程得2分，有检验过程得4分

（Ⅱ）问6分

1．写出裂项结果得3分（裂项错误得1分），写出求和结果得2分，写出放缩结果得1分

2．若没有补充说明的情况，不扣分

18．解：

（Ⅰ）方法一：∵∴

∴∴

∴

方法二：由三角形的射影定理知：，

∵∴

∴

∴

（Ⅱ）方法一：∵

当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值．

∵∴

∴当A最大时，

方法二：∵∴

∴∴．

∴

当且仅当时等号成立，此时A取到最大值名．

∵∴当A最大时，

补充说明：

（Ⅰ）问5分

1．有正确结论，有过程，5分（无过程，2分）

2．结论有误，找得分点

（Ⅱ）问7分

1．有正确结论，有过程，7分（无过程，得1分，得1分）

2．结论有误，找得分点

19．解：

（Ⅰ）∵∴又底面是平行四边形∴，

面面，面面．∴面，

故从而，故为正三角形．

取中点O，连接，则，

，从而面．面

故。

（Ⅱ）（法一）：

如图，建立空间直角坐标系，则，

设由得解得

，

设面得法向量为，则即，

取

又面的法向量是，∴

故平面与平面的夹角为．

（法二）由（1）可知，故．又，

得．故，即．

如图所示，建立空间直角坐标系，则

以下步骤同法一。

（法三）由（1）可知，故．又，

得．故，即．

设平面平面，

∵面面，

∴面，

又面，平面平面，

∴

过点P作交的延长线于点H，连接，因平面平面，

故面，且

∵，易得，

又，∴，

∴即为平面与平面的夹角。

在中，，得．

故平面与平面的夹角为．

补充说明：

（Ⅰ）问5分

1．有证明过程，5分（无过程，不得分）

2．证明有误，找得分点：

①面，3分

②面，2分

（Ⅱ）问7分

1．有正确结论，有过程得7分（无过程有结论2分）

4

2．无正确结论找得分点：

向量法：

①有正确建系思想，1分

②写对或，

③求出法向量，2分（法向量计算错误但有法向量计算公式给1分）

④求出正确夹角，2分（结论错误但有法向量夹角计算公式给1分）

综合法：

①，2分

②，2分（作出交线无证明给1分）

③证明二面角的平面角，2分（找出未证明给1分）

④求出正确夹角，1分

20．解：

（Ⅰ）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题。所以乙有机会答题的概率，解得；

（Ⅱ）X的可能取值为0，10，20，30，40；

所以X的分布列为：

补充说明：

1．分布列中对应的概率各2分，其余均1分．（只看答案）

2．期望若答案正确直接给2分，若答案错误但有过程给1分

21．解：

（Ⅰ）将点代入方程，解得，

所以双曲线C的方程为，渐近线方程为；

（Ⅱ）联立，整理得，由题意，

得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得

直线的方程为，令，得，即，同理可得

，

所以的面积，即，

解得或，又且，所以k的值为．

补充说明：

1．若未考虑扣1分

2．M，N点坐标求对一个给1分

3．若求对给1分

22．解：

（Ⅰ）解法一：∴

若，则恒成立，函数单调递减，不满足条件．

∴

令，则在递减，在递增，

∴

由对任意的x，恒成立

∴，即，解得

∴a的取值范围是

解法二：即

若则不等式恒成立

若由得

令则

在单调递增，在单调递减

∴即

∴a的取值范围是

（Ⅱ）若曲线与x轴有两不同的交点，即函数有两个不同的零点，

不妨设．且由（1）可得到

，则，即，同理由得

从而两条曲线与至少有两个交点

下面证明这两条曲线还有一个交点：

令，则

令

关于t单调递增，

令

∴存在，使在递减，在递增，

又，

∴有两个零点，不妨设，令，即有且只有两个极值点．

从而在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增

又

若，则，又由得矛盾

∴同理且．又

故

∴

故在间存在唯一的使得

即两条曲线与还有一个交点

所以若曲线与x轴有两不同的交点，则两条曲线与共有三个不同的交点．