2021佛山南海区西樵高级中学高三下学期2月月考数学试题含答案

这是一份2021佛山南海区西樵高级中学高三下学期2月月考数学试题含答案试卷主要包含了 已知，，，则， 已知，，且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 6
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已知该四棱锥的高与斜高的比值为，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数据，，，，，的平均数是5，方差是9，则（ ）
A. 159B. 204C. 231D. 636
7. 某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中是偶函数，且值域为的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，，且，则（ ）
A. 的最大值为2B. 的最小值为2
C. 的最大值是1D. 的最小值是1
11. 在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则（ ）
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值是
C. 异面直线与所成的角是
D. 四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是
12. 设，是抛物线：上两个不同的点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 直线过抛物线的焦点D. 面积的最小值是2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，的夹角为，且，，则________.
14. 在新冠肺炎疫情期间，为有效防控疫情，某小区党员志愿者踊跃报名参加值班工作.已知该小区共4个大门可供出入，每天有5名志愿者负责值班，其中1号门有车辆出入，需2人值班，其余3个大门各需1人值班，则每天不同的值班安排有__________种.
15. 双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点，使得，，依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线的实轴长为__________，若，则双曲线的离心率为__________.
16. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在递增的等比数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
20. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.当今世界，科学技术日益渗透到经济发展、社会发展和人类生活的方方面面，成为生产力中最活跃的因素，科学技术的重要性也逐渐突显出来.某企业为提高产品质量，引进了一套先进的生产线设备.为了解该生产线输出的产品质量情况，从中随机抽取200件产品，测量某项质量指数，根据所得数据分成，，，，这5组，得到频率分布直方图如图所示.若这项质量指数在内，则称该产品为优等品，其他的称为非优等品.
（1）估计该生产线生产的产品该项质量指数的中位数（结果精确到0.01）；
（2）按优等品和非优等品用分层抽样的方法从这200件产品中抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取3件，记优等品的数量为，求的分布列与期望.
21. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上的点到右焦点的距离最长为3.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，的中垂线与轴交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
22. 已知函数，为的导函数.
（1）证明：在内存在唯一零点.
（2）当时，，求的取值范围.
高三数学参考答案
一、选择题
1. D 由题意可得，所以，所以，则.
2. C 由题意可得，，则，故.
3. A 由，得，因为，所以，所以，则；反之也成立.故“”是“”的充要条件.
4. B 设该四棱锥底面的边长为，高为，斜高为，则，则，从而该四棱锥底面面积为，侧面面积为，故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是.
5. C ，，，故.
6. B 由题意可得，则，故.
7. C 在网上购买的家用小电器不合格的概率为，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为.
8. D 因为，所以.因为函数在内有且仅有两个零点，所以，解得.
二、选择题
9. AD 由题意可得是奇函数，是偶函数，但值域为，和是偶函数，且值域为.
10. BC 因为，所以，所以，解得或.因为，，所以，故A错误，B正确；因为，所以，所以，解得，所以，故C正确，D错误.
11. AB 如图，连接.因为底面是正方形，所以.因为平面，所以，所以平面，则，故A正确.由题意易证，，两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系.设，则，，，，，从而，，，.设平面的法向量，则，令，得.设直线与平面所成的角为，则，故B正确.设异面直线与所成的角为，则，从而，故C错误.四棱锥的体积.由题意可知四棱锥外接球的半径，则其体积，从而四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是，故D错误.
12. ACD 取，，满足，从而，故B错误.由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，联立，整理得，则，.因为，所以，所以直线的方程为，则直线过点，故C正确.因为抛物线的焦点为，所以直线过焦点，则由抛物线的性质可知，故A正确.由上可得直线的方程为，则，原点到直线的距离，则，故D正确.
三、填空题
13. 由题意可得，则.
14. 60 先从这5人中选取2人在1号门值班，共有种情况，再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，有种情况，故每天不同的值班安排有种.
15. 2； 结合题意知，即，则双曲线的实轴长为.又，，，由余弦定理知，解得，故.
16. 由题意可得.因为，所以.当时，，则在上单调递增，从而恒成立，故符合题意.当时，令，得.因为在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，则.因为，所以，即，解得.综上的取值范围为.
四、解答题
17. 解：（1）由题意可得，
解得，，则，.
故.
（2）由（1）可得，则.
故
.
18. 解：因为，所以，
即.
因为，所以，所以.
因为，所以，即.
若选①，
因为，所以.
由余弦定理可得，则，
故，.
因为，所以，
则的面积为.
若选②，
由余弦定理可得，
则，解得.
因为，所以，
则的面积为.
若选③，
因为，所以，
因为，所以，所以.
由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
则的面积为.
19.（1）证明：连接.
因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，所以，则.
因为，所以.
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系.
则，，，，故，，.
设平面的法向量为，
则，令，则.
设平面的法向量为，
则，令，则.
，
记二面角的平面角为，由图可知为钝角，则.
20. 解：（1）因为，，
所以该生产线生产的产品该项质量指数的中位数在内.
设其中位数为，则，
解得，即该生产线生产的产品该项质量指数的中位数约为18.64.
（2）由题意可知样本中非优等品有件，优等品有件，
则优等品应抽取件，非优等品应抽取件.
故的取值可能是1，2，3.
，，，
则的分布列为
故.
21. 解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，
则，
解得，.
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，的中点为.
联立，整理得.
由题意可知，则，，
从而.
因为为的中点，所以，，即.
直线的方程可设为，
令，得，则.
故.
当直线的斜率为0时，，，则.
综上，为定值，且定值为4.
22.（1）证明：因为，所以.
记，则.
当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增.
因为，，，
所以存在唯一，使得，即在内存在唯一零点.
（2）解：由（1可知当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为当时，恒成立，
则至少满足，，即.
①当时，，，满足；
②当时，，而，满足.
即当时，都有.又当，时，，
从而当时，对一切恒成立.
故的取值范围为.
1
2
3