2021安徽省皖西南联盟高三上学期期末考试理科数学试题含答案

2020年高三期末考试

数学试题（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容:高考全部内容．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（    ）

 A． B． C． D．

2．设集合，，则（    ）

 A． B． C． D．

3．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成卦，则（    ）

 A．120 B．122 C．124 D．128

4．的展开式中的第三项为（    ）

 A． B． C． D．

5．已知向量，满足，，且，则（    ）

 A． B．2 C． D．

6．若双曲线的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（    ）

 A． B． C． D．

7．已知一个扇形的圆心角为，弧长为，半径为2．若，则（    ）

 A． B．7 C． D．

8．在正方体中，E，F分别是棱，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，四点共面；②平面平面；③平面；④与平面ABCD所成角为．其中正确的结论的个数是（    ）

 A．1 B．2 C．3 D．4

9．设x，y满足约束条件，且的最大值为1，则的最小值为（    ）

 A．64 B．81 C．100 D．121

10．已知点在抛物线上，若数列是首项为，公比为2的等比数列，点F是C的焦点，则（    ）

 A．521 B．1033 C．524 D．1035

11．设函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ）

 A． B． C． D．

12．已知奇函数的定义域为，且对任意，恒成立，则不等式组的解集是（    ）

 A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．假设某地5月每天出现下雨天气的概率为，且5月1日至5月6日这6天出现下雨天气的天数X的数学期望为1.2，则__________．

14．若公差为2的等差数列的前两项和为0，则该数列的前n项和__________．

15．已知是周期为4的奇函数，当时，，当时，．若直线与的图象在内的交点个数为m，直线与的图象在内的交点个数为n，且，则a的取值范围是__________．

16．在正方体中，，E，F分别为棱AB，的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为__________，四面体BCEF外接球的表面积为__________．（本题第一空2分，第二空3分）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题；共60分．

17．（12分）

a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，且．

（1）若，求的面积；

（2）若，证明：为直角三角形．

18．（12分）

某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单位：万元）的散点图如图所示．

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

19．（12分）

如图，在中，，，，，，沿DE将点A折至处，使得，点M为的中点．

（1）证明：平面CMD；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）

已知椭圆的离心率为，且焦距为8．

（1）求C的方程；

（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求面积的最大值．

21．（12分）

已知函数．

（1）设曲线在点处的切线为l，求l的斜率的最小值；

（2）若对恒成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C的极坐标方程；

（2）设P是曲线C上一动点，与极轴交于点A，求的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最小值为4，且，证明：．

2020年高三期末考试

数学试题参考答案（理科）

1．D 

2．D 因为，，

所以．

3．A 依题意可得是首项为2，公比为2的等比数列，

则．

4．B 的展开式中的第三项．

5．B 因为，所以，则，

所以，故．

6．C C的标准方程为，依题意可得，

解得，则．

7．A 因为，所以，

又，所以．

8．B 如图，因为AF与异面，所以A，E，F，四点不共面，故①错误．

易证平面，因为平面ACE，所以平面平面，故②正确．

因为平面平面，且平面，所以平面，故③正确．

因为与平面ABCD所成角为，且，故④错误．

9．D 作出约束条件表示的可行域（图略），

因为，，所以当直线经过点时，取得最大值，

则，

所以，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为121．

10．B 易知F的坐标为，则．

依题意可知，则，

所以．

11．A 设函数，，，，

则a是与图象交点的横坐标，

b是与图象交点的横坐标，

c是与图象交点的横坐标．

在同一坐标系中，作出，，，的图象，如图所示．

由图可知．

12．C 设，则，则在上单调递增．

因为是定义域为的奇函数，所以，则．

不等式组等价于，

即，则，

解得．

13．0.2 依题意可得，则，解得．

14．

因为，所以，

则．

15．

依题意可作出在上的图象，如图所示．

因为，所以由图可知，

解得．

16．；

因为平面CEF与平面的交线为，所以截面为四边形，

而四边形为等腰梯形，且，，

故其面积为．

设线段CE的中点为G，四面体BCEF外接球的球心为O，

则平面BCE．设球O的半径为R，

则．

因为，所以，从而，

故球O的表面积为．

17．（1）解：因为，所以，

因为，所以，

又，则．

因为，所以，

故的面积．

（2）证明：因为，

所以，解得（负根舍去）

所以，

则C为直角，故为直角三角形．

18．解：（1），，

，

则，

故y关于x的线性回归方程为．

（2）若A项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；

若B项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元．

因为，所以可预测B项目的收益更好．

19．（1）证明：由，，且，

可得平面，因此．

由，，得，

因此，，由勾股定理可得．

又因为点M为的中点，所以．

而，故平面CMD．

（2）解：因为，，

所以平面，又，所以平面．

如图，以C为原点建立空间直角坐标系，

则，，，

易知是平面CMB的一个法向量．

设平面CME的法向量为，

则，即，

令，得．

，

易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

20．解：（1）依题意可知，解得，

故C的方程为．

（2）依题意可设直线l的方程为，

联立，整理得，

则，解得．

设，，

则，，

，

原点到直线的距离，

则的面积，

当且仅当，即时，

的面积有最大值，且最大值为．

21．解：（1），

则，

设，则，

当时，；当时，．

所以，即l的斜率的最小值为．

（2）由题知，在上恒成立，

令，则，

因为，所以．

设，易知在上单调递增．

因为，，

所以存在，使得，即．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

所以，从而，

故a的取值范围为．

22．解：（1）由，得，

即，

因为曲线C经过坐标原点O，所以，

又，所以．

故C的极坐标方程为，

即（或）．

（2）因为l的极坐标方程为，

即，

所以l的直角坐标方程为．

令，得，则A的直角坐标为，

由（1）知，曲线C表示圆心为，半径为4的圆且，

故的取值范围为．

23．（1）解：当时，由，得．

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则．

故不等式的解集为．

（2）证明：因为，

且，所以的最小值为．

因为函数为增函数，且，所以．

从而，因为，，

所以由柯西不等式得，即，

所以（当且仅当，时等号成立）