2021曲靖二中、大理新世纪中学高三第一次模拟考试数学（文）试题PDF版含答案

曲靖二中与大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【答案】D

【解析】∵集合，

集合，

∴．

2．【答案】A

【解析】根据题意，故选A．

3．【答案】C

【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故A不正确；
对于B，由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B不正确；
对于C，命题“若，则”为真命题，因此其逆否命题为真命题，C正确;

对于D，“，”的否定是“，”，故D不正确.

4．【答案】D

【解析】由题意，由，，，，组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：

，，，，，，共个基本事件，

所以恰好为“凸数”的概率为．

5．【答案】B

【解析】∵，∴．

设与的夹角为，则，

又，∴，即与的夹角为．

6．【答案】C

【解析】由，得，解得，或（舍），

从而，故选C．

7.【答案】A  

【解析】，
故在定义域上为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD；
且，而，则；故选：A．

8.【答案】A

由题意，该几何体的直观图为三棱锥，如下图，

其中底面，，在△中，，

边上的高为2，

所以三棱锥的体积为.

9．【答案】B

【解析】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（），的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，最大．故答案为．

10．【答案】A

【解析】在中，由正弦定理及，

得，∴，

又，∴，

由正弦定理及，得，

∴由余弦定理得，即，∴．

11．【答案】A

【解析】设的坐标为，由左焦点，函数的导数，

则在处的切线斜率，即，得，则，

设右焦点为，则，即，

∵，∴双曲线的离心率．

12．【答案】C

【解析】①∵函数是在上的奇函数，∴，

令，则，，故①错；

②当时，，

∵，∴是函数的一个零点，同理可以求出当，是函数的一个零点，

∵函数是奇函数，∴，

综上所述，函数有个零点，故②错；

由①可知函数，的解集为，故③正确；

④当时，，

当时，，单增；当时，，单减；

当，函数有最小值，

同理在时，函数有最大值．

∴，，都有，

∵，∴，故④正确．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜率为，又该切线与直线垂直，所以.故答案为.

14．【答案】

设大圆面积为，小圆面积，则，，

可得黑色区域的面积为，

所以落在黑色区域的概率为.故答案为：.

15．【答案】

【解析】．

16．【答案】

解：如图，在△ABC中，由正弦定理得 ⇒sinC=，

∵C＜B，∴C=30°，∴A=90°，

又∵PA⊥平面ABC，AP，AC，AB两两垂直，

故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，，2为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．易得外接球半径为2，故外接球表面积为4πR2=16π．故答案为16π．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

当时，，符合上式，

所以．                                ......6分

（2）由（1）得．

∴

．     ......12分

18．【答案】（1），；（2）没有的把握认为；（3）．

【解析】（1），，解得，．         ......2分

（2）由题知总数，得到，，

所以没有的把握认为测试成绩优秀与性别有关．              ......6分

（3）结合，结合分层抽样原理，抽取人，则男生中抽取人设为，

女生抽取人设为，，，，则从6人中抽取2人，

总的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共种，

如果人全部都是女生，有，，，，，，共种，

所以．                            ......12分

19.【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）在正方形中，，

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，可得，

在直角梯形中，，，可得，

在中，，，所以，

所以，，所以平面．             ......6分

（2）因为平面，所以平面平面，

过点作的垂线交于点，则平面，

所以点到平面的距离等于线段的长度．

在直角三角形中，，

所以，所以点到平面的距离等于．     ......12分

20.【答案】（1）（2）

【详解】（1）由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率，由，，，得，，，故椭圆的方程为.    ......4分

（2）不妨设，，联立方程组，得，

由，得.且，

所以.

又到直线的距离为，所以

.

当且仅当时取等号，所以.           ......12分

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．

21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1），

当时，在时，，为单调减函数；

在时，为单调增函数．

当时，，为单调减函数．

当时，在时，，为单调减函数；在时，为单调增函数．                             ......6分

（2）由（1）知，当时，，，

令，则，解得，

∴在单调递减，在单调递增，

∴，∴，

即，∴．                    ......12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．【答案】（1）6；（2）13．

【解析】（1）由，得，

将，代入，得，

设两点对应的参数分别为，则，故．    ......5分

（2）直线的普通方程为，

设圆的方程为()，

圆心到直线的距离为，

∵，∴，解得（，舍去），

所以圆的半径为13．                           ......10分

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，解得；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则，

综上知，不等式的解集为．              ......5分

（2）由，

若对任意，不等式恒成立，

则，解得或，

则的取值范围是．                            ......10分