2021洛阳一高高三9月月考数学（理）试题含答案

洛阳一高2020-2021学年第一学期高三年级9月月考理科数学试卷

考试时长：120分钟    

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则

2.已知，则的解析式为

,且      ，且   

，且     ，且

3.已知命题；命题若,则.下列命题为真命题的是

4.若，，，则

5.函数在上单调递增，则的取值范围是

6. 设命题：，则为

7.函数的大致图象为

8.已知函数是幂函数，对任意的且，满足

，若，则的值

恒大于0 恒小于0 等于0   无法判断

9.已知函数，若，则实数的大小关系为

10.已知直线是曲线的切线，则实数的值为

11.若函数有三个不同零点，则的取值范围是

12.若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函

数在上的最大值为

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.函数的图象在点处的切线的斜率为_________.

14.已知函数，则____   　.

15．函数，则__________.

16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（本小题满分12分）

    已知数列的前项和，其中．

(1)证明是等比数列，并求其通项公式；

(2)若 ，求．

18．（本小题满分12分）

在中，内角所对的边分别为，已知.

(1)证明：；

(2)求的最小值.

19.（本小题满分12分）

设函数．

(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求；

(2)若在处取得极小值，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）

如图，已知三棱柱中，平面平面，.

(1)证明：；

(2)设，求二面角的余弦值.

21．（本小题满分12分）

已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，

请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲

以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为为参数，），曲线的极坐标方程为

.

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，为不等式的解集.

(1)求集合；

(2)若，，求证：.

高三9月月考理科数学参考答案

一、选择题：          

二、填空题：13.       14.      15.          16.①③

三、解答题

17.(1),,.                       ……2分

由，得，即.    ……4分

,，所以是首项为，公比为的等比数列，

其通项公式为.                                     ……6分

(2)由(1)得.  由得，      ……10分

.                                               ……12分

18.(1)由得

，                              ……3分

所以，                                          ……5分

由正弦定理，得．                                          ……6分

(2)由                            ……8分

．                                   ……10分

所以的最小值为．                                           ……12分

19.解：(1)，

，.                          ……3分

由题设知，即，解得．                     ……5分

(2)由(1)得．                ……7分

若，则当时，；

当时，．

所以在处取得极小值．                                    ……8分

若，则当时，，

所以．                                                  ……10分

所以1不是的极小值点．                                     ……11分

综上可知，的取值范围是．                                ……12分

20.解：(1）连.

∵，四边形为菱形，∴.                      ……1分

∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面.                                               ……2分

又∵，∴平面，∴.                     ……3分

∵，

∴平面，                                              ……4分

而平面，

∴.                                                    ……5分

(2)取的中点为，连结.

∵，四边形为菱形，，

∴，.                                          ……6分

又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.

设，，，，                     ……7分

∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，).

由(1)知，平面的一个法向量为.                    ……9分

设平面的法向量为，则，∴.

∵，，∴.

令，得，即 .                         ……10分

∴，                              ……11分

∴二面角的余弦值为.                              ……12分

21.解：(1)函数的定义域为，

.                             ……2分

①    若，则，在单调递增．                   ……3分

②若，则由得．

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增．              ……4分

③若，则由得．

当时，；当时，，

故在单调递减，在单调递增．         ……6分

（2）①若，则，所以．                   ……7分

②若，则由(1)得，当时，取得最小值，最小值为

．从而当且仅当，即时，．……8分

②    若，则由(1)得，当时，取得最小值，最小值为

．                                   ……10分

从而当且仅当，即时．         ……11分

综上，的取值范围为．                               ……12分

22.解：(1)由，得，                …… 3分

所以曲线的直角坐标方程为．             …… 5分

(2)将直线的参数方程代入，得．

设两点对应的参数分别为，则

，                    …… 7分

∴，     …… 9分

当时，取最小值2．                    ……10分

23.解：(1).

当时，，

由解得，；

当时，，

恒成立，；

当时，,

由解得，.                                    …… 3分

综上，的解集.                             ……5分

(2)

,                                  …… 7分

由得,,                       …… 9分

,.                               ……10分