2020南京师大附中高三下学期六月押题数学试卷含附加题含答案

这是一份2020南京师大附中高三下学期六月押题数学试卷含附加题含答案，共19页。试卷主要包含了 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷(2020．6)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－x)2，其中x＝xi.
锥体的体积V＝Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
球体的表面积S＝4πr2，其中r是球体的半径．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|－1，0，1，6}，则A∩B＝________．
2. 已知复数z＝(1－2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部为0，则实数a的值为________．

3. 样本数据6，7，10，14，8，9的方差是________．
4. 右图是一个算法流程图，若输入的x的值为1，则输出S的值为________．
5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛郑2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是________．
6. 已知函数y＝sin(2x＋φ)(－＜φ＜)的图象关于点(，0)对称，则φ的值是________．
7. 已知P­ABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16 π，且∠APO＝∠BPO＝∠CPO＝30°，则该三棱锥的体积为________．
8. 若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则抛物线y＝x2的焦点到双曲线C的渐近线距离为________．
9. 已知函数f(x)＝sin x＋2x＋x3.若f(a－6)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
10. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＋a2＋a5＝47，a3＋a4＝28.若存在正整数k，使得对任意的n∈N*都有Sn≤ Sk恒成立，则k的值为________．
11. 已知圆O：x2＋y2＝m(m＞0)，直线l：x＋2y＝10与x轴，y轴分别交于A，B两点．若圆O上存在点P使得△PAB的面积为，则实数m的最小值为________．
12. 已知点G为△ABC的重心，点D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若·＝6，·＝，则·＝________．
13. 已知函数f(x)＝a，g(x)＝若关于x的方程f(x)＝g(x)有3个不同的实数根，则实数a的取值集合为________．
14. 在锐角三角形ABC中，已知cos2B＋cos2Asin2B＝4cos2Acos2B，则的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在△ABC中，已知sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C.
(1) 求cos(B＋)的值；
(2) 若D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．










16.(本小题满分14分)
在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，且AB＝BC1，点E，F分别为BB1，A1C1的中点．求证：
(1) 平面AA1C1C⊥平面A1BC；
(2) EF∥平面A1BC.

17. (本小题满分14分)
某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧和两条线段AC，BC构成．已知圆心O在线段AC上，现测得圆O半径为2百米，∠AOB＝，BC⊥AC.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC，上底为MN，点M在圆弧(点D在圆弧上，且OD⊥OA)上，点N在圆弧上或线段BC上．设∠AOM＝θ.
(1) 将梯形ACNM的面积表示为θ的函数；
(2) 当θ为何值时，梯形ACNM的面积最大？求出最大面积．

18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)，其右焦点F到其右准线的距离为1，离心率为，A，B分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆Γ交于C，D两点，与y轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.
(1) 求椭圆Γ的标准方程；
(2) 当CD＝时，求直线l的方程；
(3) 求证：·为定值．

19. (本小题满分16分)
设f(x)＝a(x－1)2－ex＋ex，g(x)＝ex(x－1)＋ax2－(a＋e)x，a∈R，其中e为自然对数的底数(e＝2.718 2…)．
(1) 当a＝e时，求g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2) 设F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间；
(3) 当≥1时，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围．

20. (本小题满分16分)
已知{an}是各项均为正数的无穷数列，且满足a1＝a，an＋1－an＝.
(1) 若d＝1，a3＝6，求a的值；
(2) 设数列{bn}满足bn＝an＋1－an，其前n项的和为Sn.
① 求证：{bn}是等差数列；
② 若对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得Sn＝bm成立．求证：Sn≤(2n－1)b1.


江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，点P(3，－1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，5)．
(1) 求a和b的值；
(2) 求矩阵A的特征值．





B. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(θ－)＝a，曲线C的方程为ρ＝4cos θ.若直线l与曲线C相切，求实数a的值．





C. (选修45：不等式选讲)
已知a，b，c为正实数，求＋＋的最小值．
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 某校举办的体育节设有投篮项目．该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分．
(1) 若甲同学每次投篮命中的概率为，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分为X，求随机变量X的概率分布列；
(2) 若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为，且相互不影响，甲、乙两人之间互不干扰．求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率．











23.在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进1个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O出发行进到点P(x，y，z)(x，y，z∈N)经过最短路径的不同走法的总数为f(x，y，z)．
(1) 求f(1，1，1)，f(2，2，2)和f(n，n，n)(n∈N*)；
(2) 当n∈N*，试比较f(n，n，n)与的大小，并说明理由．

江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷
数学参考答案及评分标准

1. {－1，0，1}　2. －2　3. 　4. 100　5. 　6. －　7. 　8. 　9. 　10. 10
11. 5　12. －　13. 　14. [，)
15. 解：(1) 因为A＋B＋C＝π，sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C，
所以由正弦定理可知BC2－BC·AB＝AC2－AB2，BC2＋AB2－AC2＝BC·AB，(2分)
cos B＝＝.
因为在△ABC中，B∈(0，π)，所以B＝.(5分)
所以cos(B＋)＝cos Bcos －sin Bsin ＝×－×＝.(7分)
(2) 由余弦定理可知，在△ACD中，cos C＝＝＝，(9分)
因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，sin C＝＝＝.(11分)
由正弦定理可知，在△ABC中，＝，所以＝，所以AB＝.(14分)
16. 证明：(1) 连结AC1交A1C于O点，连结BO.
在△ABC1中，因为AB＝BC1，所以BO⊥AC1.(2分)
因为侧面AA1C1C为菱形，所以对角线A1C⊥AC1.(4分)
因为BO∩A1C＝O，BO，A1C⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC.(6分)
因为AC1⊂平面AA1C1C，所以平面AA1C1C⊥平面A1BC.(7分)
(2) 连结FO，因为侧面AA1C1C为菱形，所以对角线互相平分，点O为A1C的中点．
因为点F为A1C1的中点，所以在△A1CC1中，FO∥CC1，FO綊CC1，(9分)
在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱BB1綊CC1，又点E为BB1的中点，
所以BE綊CC1.
又FO綊CC1，所以BE綊FO，四边形BEFO是平行四边形，(12分)
所以EF∥BO.
因为EF⊄平面A1BC，BO⊂平面A1BC，所以EF∥平面A1BC.(14分)
17. 解：(1) 因为点M在圆弧上，OD⊥OA，当点M分别与点A，D重合时，梯形不存在，
所以θ∈(0，)．
过点B作BB′∥CA，且BB′交圆弧于点B′，连结B′O，因为OD⊥OA，所以BB′⊥OD.
由垂径定理可知OD垂直平分BB′，
因此∠B′OD＝∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝－＝，∠AOB′＝∠AOD－∠B′OD＝－＝，

因此，当θ∈(，)时，点N在圆弧上，当θ∈(0，]上时，点N在线段BC上．
设OD∩MN＝H，
① 当θ∈(，)时，因为MN∥CA，所以∠HMO＝∠AOM＝θ.
又OD⊥OA，所以MN⊥OD.
由垂径定理可知HM＝HN，在Rt△OHM中，HM＝OMcos∠OMH＝2cos θ，
HO＝OMsin∠OMH＝2sin θ，BC⊥AC，
所以在Rt△OBC中，∠COB＝π－∠AOB＝π－＝，CO＝OBcos∠BOC＝2cos ＝1，
所以梯形ACNM的面积S(θ)＝OH·(MN＋AC)＝OH·(2MH＋AO＋OC)
＝sin θ(4cos θ＋3)，(4分)

② 当θ∈(0，]时，因为BC⊥AC，OD⊥OC，MN⊥OD，
所以四边形OCNH为矩形，故NH＝OC＝1，
所以梯形ACNM的面积
S(θ)＝OH·(MN＋AC)＝OH·(MH＋NH＋AO＋OC)
＝2sin θ(cos θ＋2)．(6分)
综上，S(θ)＝(7分)
(2) ① 当θ∈(，)时，S(θ)＝sin θ(4cos θ＋3)，
S′(θ)＝cos θ(4cos θ＋3)＋sin θ(－4sin θ)＝8cos2θ＋3cos θ－4.
因为θ∈(，)时，cos θ∈(0，)，cos2θ＜，
所以S′(θ)＝8cos2θ＋3cos θ－4＜8×＋3×－4＝－＜0，
故S(θ)在(，)上单调递减，S(θ)＜S()＝sin ·(4cos ＋3)＝.(10分)
② 当θ∈(0，]时，S(θ)＝2sin θ(cos θ＋2)，
S′(θ)＝2cos θ(cos θ＋2)＋2sin θ(－sin θ)＝4cos2θ＋4cos θ－2.
因为θ∈(0，]时，cos θ∈[，1)，cos2θ≥，
所以S′(θ)＝4cos2θ＋4cos θ－2≥4×＋4×－2＝1＞0，
故S(θ)在(0，]上单调递增，S(θ)≤S()＝2sin ·(cos ＋2)＝.(13分)
综上，当且仅当θ＝时，梯形ACNM的面积取得最大值平方百米．(14分)
18. (1) 解：由题意可知所以a＝，c＝1，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(4分)
(2) 解：因为直线l不与x轴重合，所以斜率不为0.
因为l过点F(1，0)，所以设直线l的方程为x＝my＋1.
由得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，则CD2＝(m2＋1)(y1－y2)2＝(m2＋1)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝(m2＋1)[()2－4()]＝.
因为CD＝，所以＝，得m2＝3，所以m＝±，
所以直线l的方程为x＝±y＋1.(8分)
(3) 证明：在x＝my＋1中令x＝0得y＝－，所以P(0，－)．
而直线AD的方程为y－1＝x，直线CB的方程为y＋1＝x.
由此得到yQ＝＝
＝　(*)．(10分)
不妨设y1＞y2，则y1＝　①，y2＝　②，
所以y1－y2＝　③.
将①②③代入(*)式，得
yQ＝＝＝－m，(14分)
所以·＝(0，－)·(xQ，yQ)＝－＝－＝1为定值．(16分)
[另解：从(*)式开始，将根与系数关系代入(*)式，得
＝＝＝－m，以下不变]
19. 解：(1) 当a＝e时，g(x)＝ex(x－1)＋ex2－2ex，g′(x)＝ex(x－1)＋ex＋ex－2e，
g′(1)＝e＋e－2e＝0，g(1)＝－2e＝－，
所以g(x)在(1，g(1))处的切线方程为y＋＝0，即y＝－.(2分)
(2) F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝2a(x－1)－ex＋e＋ex＋ax－(a＋e)＝(x－1)(ex＋3a)．
① 当a≥0时，ex＋3a＞0，所以当x＞1时，F′(x)＞0；当x＜1时，F′(x)＜0；
② 当a＜0时，令F′(x)＝0得x＝1，x＝ln(－3a)．
ⅰ. 若ln(－3a)＝1，即a＝－时，则F′(x)≥0恒成立，
所以F(x)单调增区间为(－∞，＋∞)．(6分)
ⅱ. 若ln(－3a)＜1，即－＜a＜0时，F′(x)＞0即x＞1或x＜ln(－3a)；
F′(x)＜0即ln(－3a)＜x＜1，
所以F(x)单调增区间为(－∞，ln(－3a))和(1，＋∞)，单调减区间为(ln(－3a)，1)．
ⅲ. 若ln(－3a)＞1，即a＜－时，F′(x)＞0即x＞ln(－3a)或x＜1，F′(x)＜0即1＜x＜ln(－3a)，所以F(x)单调增区间为(－∞，1)和(ln(－3a)，＋∞)，单调减区间为(1，ln(－3a))．(8分)
(3) f′(x)＝2a(x－1)－ex＋e.
① 若a≤0时，则f′(x)≤0在x≥1时恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x≥1时，f(x)≤f(1)＝0，所以x≥1时，f(x)≤0恒成立．(10分)
② 若a＞0时，令φ(x)＝f′(x)，则φ′(x)＝2a－ex，
ⅰ. 当a≤时，即x≥1时，φ′(x)≤0，所以φ(x)单调递减，所以φ(x)≤φ(1)＝0，即f′(x)≤0，
所以f(x)单调递减，所以当x≥1时，f(x)≤f(1)＝0恒成立．(12分)
ⅱ. 当a＞时，令φ′(x)＝0，则x＝ln(2a)＞1，当x＞ln(2a)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；当x＜ln(2a)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．
因为φ(x)在(－∞，ln(2a))上单调递增且φ(1)＝0，
所以φ(ln(2a))＞φ(1)＝0，所以在(1，ln(2a))上φ(x)＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)单调递增，
所以当x∈(1，ln(2a))时，f(x)＞f(1)＝0，不满足条件．
所以a的取值范围是(－∞，]．(16分)
20. (1) 解：因为an＋1－an＝，a3＝6，
所以令n＝2，得a3－a2＝，即6－a2＝(a2＜6)，平方整理得
(a2－10)(a2－3)＝0.
因为a2＜6，所以a2＝3；
同理令n＝1，得a2－a1＝，即3－a1＝(a1＜3)，平方整理得
(a1－1)(a1－7)＝0.因为a1＜3，所以a1＝1，因此a＝1.(4分)
(2) 证明：① 由题意，得d≥0.
当d＝0时，an＋1－an＝0，所以{bn}是公差为0的等差数列．(5分)
当d≠0时，因为an＋1－an＝
所以(an＋1－an)2＝d(an＋1＋an)　①，
从而有(an－an－1)2＝d(an＋an－1)　②.
①－②，得(an＋1－an)2－(an－an－1)2＝d[(an＋1＋an)－(an－an－1)]，
化简得[(an＋1－an)－(an＋an－1)](an＋1－an－1)＝d(an＋1－an－1)．
因为an＋1－an＝，且数列{an}的各项均为正数，d＞0，
所以an＋1－an＞0，从而 an＋1－an－1＞0，因此(an＋1－an)－(an＋an－1)＝d.
因为bn＝an＋1－an，所以bn－bn－1＝d.
综上，{bn}是公差为d的等差数列．(8分)
② 因为{bn}是公差为d的等差数列，所以Sn＝nb1＋d.
因为对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得Sn＝bm，
所以有nb1＋d＝b1＋(m－1)d，
整理得(m－1)d＝(n－1)b1＋d.
ⅰ. 若d＝0，则b1＝0，结论成立．(10分)
ⅱ. 若d＞0，(m－1)＝(n－1)＋.
当n＝1时，m＝1；
当n≥2时，必为整数，即b1＝kd.
因为an＋1－an＞0，
所以bn≥0，d＞0，所以k∈N*，
从而Sn＝nb1＋d＝nd(k＋)．
下证nkd＋d≤(2n－1)kd，即证≤(2n－n－1)k，
从而只要证≤2n－n－1，
因此要证2n＋1－n2－n－2≥0.(13分)
记f(n)＝2n＋1－n2－n－2，则f(n＋1)－f(n)＝2[2n－(n＋1)]．
记g(n)＝2n－(n＋1)，则g(n＋1)－g(n)＝2n－1＞0，
所以g(n)＝2n－(n＋1)≥g(1)＝0，
从而f(n＋1)－f(n)≥0，
所以f(n)＝2n＋1－n2－n－2≥f(1)＝0.(16分)

2020届高三模拟考试试卷(二十三)(南师附中)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：(1) 由题意，得＝⇒＝⇒⇒
所以a＝3，b＝1.(4分)
(2) 由(1)可知A＝，
特征行列式为＝(λ－2)(λ－1)－(－3)(－2)＝λ2－3λ－4＝(λ－4)(λ＋1)＝0，
所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.(10分)
B. 解：以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系．
因为直线l的方程为ρsin(θ－)＝a，所以其直角坐标方程为x－y＋2a＝0.
因为曲线C的方程为ρ＝4cos θ，所以ρ2＝4ρcos θ，(4分)
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，是圆心为(2，0)，半径为2的圆．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线l的距离d为2，
d＝＝2⇒|a＋1|＝2，所以a＝1，a＝－3.(10分)
C. 解：＝＋＝＋1＋＋1＋＋2－4＝＋＋－4＝(a＋b＋c)(＋＋)－4＝[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)](＋＋)－4.
因为a，b，c为正实数，所以由柯西不等式可知
＋＋＝[()2＋()2＋()2][()2＋()2＋()2]－4≥(·＋·＋·)2－4＝×(1＋1＋)2－4＝2－1，
当且仅当＝＝，即b＋c＝c＋a＝(a＋b)，即a＝b且c＝(－1)a时取等号，此时原式的最小值为2－1.(10分)
22. 解：(1) 随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝()3＝；P(X＝1)＝C··()2＝；
P(X＝2)＝()2·＋()2·＝；P(X＝3)＝C·()2·＝；
P(X＝4)＝()3＝.(5分)
(2) 设乙同学投完后的总分为Y，则随机变量Y可能的取值为0，1，2，3，4，
P(Y＝0)＝()3＝；P(Y＝1)＝C·()3＝；P(Y＝2)＝()3＋()3＝；
P(Y＝3)＝C·()3＝；P(Y＝4)＝()3＝.
记“最终甲同学的总分低于乙同学的总分”为事件A，由四种情况组成，且相互独立，四种情况分别为甲得0分且乙得分超过0分，甲得1分且乙得分超过1分，甲得2分且乙得分超过2分，甲得3分且乙得分超过3分．
所以P(A)＝P(X＝0)·P(Y＞0)＋P(X＝1)·P(Y＞1)＋P(X＝2)·P(Y＞2)＋P(X＝3)·P(Y＞3)＝×(1－)＋×(1－－)＋×(＋)＋×＝.
答：事件A的概率为.(10分)
23. 解：(1) f(1，1，1)＝C·C＝6，f(2，2，2)＝CC＝·＝90，
f(n，n，n)＝C·C＝.(3分)
(2) f(n，n，n)＝C·C＝＝·＝·3n·(3n－1)·(3n－2)…(n＋2)·(n＋1)，
其中3n·(3n－1)·(3n－2)…(n＋2)·(n＋1)是2n个连续的自然数相乘，
对于任意的k∈N*，且k≤n，都有
(2n＋k)·(2n－k＋1)≤＝恒成立，
所以3n·(3n－1)·(3n－2)…(n＋2)·(n＋1)≤＝，
并且2n＋k≠2n－k＋1，所以取不到等号，
因此f(n，n，n)＜.(10分)