2020内江六中高三强化训练（一）数学（理）试题含答案

内江六中高20届第一次强化训练

理科数学试题

考试时间：120分钟     满分：150分

第Ⅰ卷 选择题（满分60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为

A.      B.      C.     D.

2. 已知复数，在复平面内对应的点在直线上，且满足是实数，则等于

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，，满足，，，，则，的夹角等于   

A.  B.  C.  D.

4. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为万公顷、万公顷和万公顷，则沙漠面积增加数万公顷关于年数年的函数关系较为接近的是

A.  B. .
C.  D.

5. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示．若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列结论正确的是     

A. ；乙比甲成绩稳定 

B. ；甲比乙成绩稳定
C. ；乙比甲成绩稳定 

D. ；甲比乙成绩稳定

6. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为     

A.  B.  C.  D.

7. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的半径为

A. 2 B.  C.  D. 3

8. 已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长

A.  B.  C. 10 D.

9. 将函数其中的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是       

A.  B. 1 C.  D. 2

10. 在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为

A.  B. 2 C.  D. 4

11. 已知抛物线W：的焦点为F，点P是圆O：与抛物线W的一个交点，点，则当最小时，圆心O到直线PF的距离是

A.  B. 1 C.  D.

12. 在平面内，定点A，B，C，D满足，，动点P，M满足，，则的最大值是   

1.  B.  C.           D.

第Ⅱ卷 非选择题（满分 90分）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为          ．
14. 已知，若，，则           ．
15. 有一块直角三角板ABC，，，BC边贴于桌面上，当三角板和桌面成角时，AB边与桌面所成的角的正弦值是_______．
16. 已知定义域为D，对于任意,则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

（一）必考题：共60分

17. 已知数列满足，．

求，的值

试说明数列是等比数列，并求出数列的前n项和．


 

18. 某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1，2，3，，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．求：

员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；

员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？




 

19. 在四棱锥中，侧面底面ABCD，，，，，．

求SC与平面SAB所成角的正弦值；

求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．





 

20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4．

求椭圆C的标准方程；

设直线l过点且与椭圆C相交于不同的两点A，B，直线与x轴交于点D，E是直线上异于D的任意一点，当时，直线BE是否恒过x轴上的定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．

 

21. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函数f(x)的最大值；

(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

（二）选考题:共10分

22．选修4-4：坐标系与参数方程：

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为是参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

设曲线经过伸缩变换得到曲线，是曲线上任意一点，求点M到曲线的距离的最大值．





 

23．选修4-5：不等式选讲：

设函数，．

解不等式；

若函数的最小值为t，且正数a，b满足，求 的最小值．






 

20200603高考强化训练卷(一)答案

22. 【答案】D
    解：由Venn图可知所求阴影部分的集合为，，，
    又，故选D．
23. 【答案】B

解：设，

又因为是实数，

所以，即，所以．故选B．

3.C.  作，，则，则，的夹角为，

因为，，，所以，所以，的夹角为．

4.D
【解答】解：将，，代入，
当时，，和相差较大；
将，，代入，
当时，，和相差较大；
将，，代入，
当时，，和和相差较大；
将，，代入，
当时，，
当时，，与相差，
当时，，和相差；
综合以上分析，选用函数关系较为近似．

5.A

【解答】解：，
，，
．所以，，乙的成绩更稳定，
 

6.A

解：方程化为：方程，令，，
表示平行于x轴的平行直线，
直线与函数的图象恰好有三个不同交点时，如图，
有，
若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为．
故选A．

7.A

解：设正四棱锥的底面边长为a，

由，得．
由题意知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，

则，解得．

8.解：双曲线C：的一条渐近线方程是，
，即，左焦点，
，，，
双曲线方程为，直线l的方程为，
设，由，
消y可得，，，

，

9.D解：将函数其中的图象向右平移个单位，
可得函数的图象关于点对称，可得，

，．故的最小值为2，
10.B

解：根据三角形的面积公式，可得到，解得，所以是顶角为的等腰三角形，C为，
又由正弦定理，解得．
11.B

【解析】解：过P作抛物线的准线的垂线PM，M为垂足，则，
则，
当PA与抛物线相切时，取得最小值，故而取得最小值．
设直线PA的方程为，代入抛物线方程得：，
令，解得．
此时方程为，解得，
不妨设P在第一象限，则，直线PF的方程为．
到PF的距离为1．
12.B

解：由，可得D为的外心，
又，可得
，，
即，
即有，，可得D为的垂心，
则D为的中心，即为正三角形．
由，即有，
解得，的边长为，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，
，，，由，可设，，
由，可得M为PC的中点，即有，
则，
当，即时，取得最大值，且为．
故选B．

13解：设阴影外部分的面积为s，则由几何概型的概率公式得：
，解得，
可以估计出阴影部分的面积约为．
 

14.

解：设，由，知，代入，
即，解得或舍去，
所以，即，因为，
所以，则，
解得，，则．
故答案为．
 

15.

解：过A作AO垂直桌面于O，连接OC，OB，
平面OBC，平面PBC，所以，
因为，，所以平面OAC，
因为平面OAC，所以，
故即为三角板所在平面与桌面所成角，则，
设，则，．边与桌面所成角等于，
．故答案为．
 

16.

解：由题意，由，即，解得，
函数定义域为，不妨设，
，，

，
，则，，
，，
根据对数函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值，
，故答案为．
 

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.解：由已知得，
．

，，
即．，，

数列是首项为，公比为3的等比数列．

，，
n．

18.解：由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是，
设甲抽奖一次所得奖金为，则奖金的可能取值是0，30，60，240，
所以，，
，．
所以的分布列是

所以．
由可得，乙一次抽奖中奖的概率是，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数，
所以．

19.【答案】解：在平面SCD内作交SC于点E，
因为侧面底面ABCD，侧面底面，平面SCD，
所以底面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
所以0，，1，，1，，0，，
由，得，
所以点S的坐标为，则，，
，，，
设面SAB的法向量为y，，则
即，
取，得，则，
设SC与平面SAB所成的角为，则；
设平面SAD的法向量为b，，则
即，取，则3，，，
所以，
故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为．

20.【答案】解：由题意得
解得，，所以椭圆C的标准方程为．
直线BE恒过x轴上的定点证明如下：因为
 所以，因为直线l过点．
当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为，
不妨设则，
此时，直线BE的方程为，所以直线BE过定点；
直线l的斜率存在且不为零显然时，设直线l的方程为，，，所以，直线BE：，
令，得，即，
又，所以，
即证，即证，，
联立消x得，
因为点在C内，所以直线l与C恒有两个交点，
由韦达定理得，，代入中得，所以直线BE过定点，综上所述，直线BE恒过x轴上的定点．

用，即可得出．
 

21.(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, (x)>0,当x>0时,(x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0

(II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.

由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由题设0<a<b,得,因此,.

所以a>-.

又a<a

综上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

(II)证法二：g(x)=xlnx,,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(),

则当0<x<a时因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().

设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

22.解：是参数，消参可得曲线的普通方程为：，
，，
又，代入可得：．
故曲线的直角坐标方程为：．
曲线：，经过伸缩变换得到曲线的方程为：，曲线的方程为：，
设，根据点到直线的距离公式可得其中，
点M到曲线的距离的最大值为．

23.解：即为，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上可得的解集为；
，
当且仅当，取得等号，
即有的最小值为6，即，，，
，
当且仅当，即，时，取得最小值．