2020北京延庆区高三3月模拟考试数学试题含答案

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2020北京延庆区高三一模 数 学 2020.3本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知复数是正实数，则实数的值为A. B. C. D. 2. 已知向量若与方向相同，则等于A. B. C. D. 3. 下列函数中最小正周期为的函数是 A. B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. B. C. D. 5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为A. 8 B. 12 C. D. 206. 的展开式中，的系数是A. 160 B. 80 C. 50 D. 107. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A. B. C. D. 8. 已知直线，平面，那么“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 已知集合,且则的取值范围是 12. 经过点且与圆相切的直线的方程是 13. 已知函数则 14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种.15. 在中，是边的中点.若，则的长等于 ；若，则的面积等于 .三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：和所成角等于 17.（本小题14分）已知数列是等差数列，是的前项和，， .（Ⅰ）判断是否是数列中的项，并说明理由； （Ⅱ）求的最值.从 ①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。18. （本小题14分）三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（Ⅰ）试估计班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.19. （本小题14分）已知函数其中（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.20.（本小题15分）已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.21.（本小题14分）在数列中，若且则称为“数列”。设为“数列”，记的前项和为（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）证明：中总有一项为或.2020北京延庆区高三一模数学参考答案一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. C 2．D． 3．D 4．C 5. B 6．B 7．A 8. C 9. B 10. A 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）11．； 12. ； 13．； 14．； 15．.10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.15. 在中，，在中，，相除得：，所以，所以.三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结，设与交于，联结， …………1分因为 平面，平面平面=,所以 …………4分因为 是正方形，所以 是的中点所以 是的中点 …………6分（Ⅱ）（法一）因为 平面，所以 …………7分因为 是正方形，所以 因为 所以 平面 …………10分所以 因为 因为 所以 平面 …………13分因为 平面所以 所以 与成角. …………14分（法二）连接，因为 平面，所以 ， . ………7分因为 是正方形，所以 .所以 两两垂直.以分别为、、建立空间直角坐标系.………8分则，，，， ………9分，, ………10分 （………1分） ………13分所以所以 与成角. ………14分17. 解：选 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① （Ⅰ）因为，所以 …………2分所以 …………4分所以 …………6分令 ，则此方程无正整数解所以不是数列中的项. …………8分不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；只有结果，正确给1分. （Ⅱ）（法一）令， 即 ，解得： 当时，当时， …………11分当时，的最小值为.…13分无最大值 …………14分只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.无最大值 …1分（Ⅱ）（法二）， …………11分当时，的最小值为.…13分无最大值 …………14分选 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② （Ⅰ）， …………2分 …………4分 …………6分令 ，则解得是数列中的第512项. …………8分（Ⅱ）令， 即 ，解得：当时，当时，当时， …………11分当或时，的最小值为. …………13分无最大值 …………14分选 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ （Ⅰ）， …………2分 …………4分 …………6分令 ，则（舍去）不是数列中的项. …………8分（Ⅱ）令， 即 ，解得：当时，当时，当时， …………11分当或时，的最大值为. …………13分无最小值. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样方法，班的学生人数估计为． …………3分只有结果36扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+2+4=9种， …………6分. …………7分由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为. ……………8分只有结果而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.（Ⅲ）设从班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有人一周上网超过15小时为事件,从班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件则所求事件的概率为：. ……………14分（Ⅲ）另解：从A班的6人中随机选2人，有种选法，从B班的7人中随机选1人，有种选法，故选法总数为：种 ……………10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，则中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人超15小时， ……………11分所以. ……………14分只有，而无文字说明，扣1分有设或答，有，给3分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：.切线的斜率；曲线在原点处的切线方程为：. ……………5分（Ⅱ） ……………7分（1）当 则 ……………9分法1： ……………10分在恒成立，. ……………13分所以的取值范围为. ……………14分法2：； ……………10分当时，，， ；即时，；时，，所以的取值范围为. ……………14分用趋近说：，论述不严谨，扣1分.（2）当.则法1：.在恒成立，.综上：的取值范围是.法2：；当时，，，；（论述不严谨，扣1分）即时，；时，，综上：的取值范围是.20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）法一：依题意可得解得 （试根法）所以椭圆的标准方程为. …3分法二：设椭圆的右焦点为，则，，， ，所以椭圆的标准方程为. …3分（Ⅱ）因为点在第一象限，所以直线的斜率存在， …4分设直线的斜率为，则直线的方程为，设直线 与该椭圆的交点为 由可得， …5分 易知，且， …6分 则 …7分， 所以(负舍)，所以直线的方程为. …8分 用到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分，设点， 又 解得：所以直线的方程为，即.（Ⅲ）设，，则，易知，.由，，所以直线的方程为. …9分 若使的面积是的面积的4倍，只需使得， …10分法一：即  = 1 \* GB3 ① . …11分设直线的方程为，由 得， …12分由 得，， …13分 代入 = 1 \* GB3 ①可得，即：（约分后求解）解得，所以. …15分法二：所以，即. …11分设直线的方程为，由 得， …12分所以，因为点在椭圆上，所以， …13分 代入可得，即：解得，所以. …15分法三：所以，即. …11分 点在线段上，所以，整理得， = 1 \* GB3 ① …12分因为点在椭圆上，所以， = 2 \* GB3 ② 把 = 1 \* GB3 ①式代入 = 2 \* GB3 ②式可得，解得. …13分于是，所以，.所以，所求直线的方程为. …15分21.解：（Ⅰ）当时，中的各项依次为， 所以. …………………………3分 （Ⅱ） = 1 \* GB3 ① 若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，适合题意.  = 2 \* GB3 ② 若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上，. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明：一定存在某个，使得成立. 否则，对每一个，都有，则在为奇数时，必有； 在为偶数时，有，或. 因此，若对每一个，都有，则单调递减， 注意到，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个，使得成立. 经检验，当，或，或时，中出现； 当时，中出现， 综上，中总有一项为或. …………………………14分班班班0（0，）（）0递增递减0（0，）（）-0+递减递增