2020北京海淀区高三下学期一模考试数学试题含答案

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海淀区高三年级第二学期阶段性测试数 学2020春本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）已知集合，，则集合B可以是（A）{1，2} （B）{1，3} （C）{0，1，2} （D）{1，2，3}（3）已知双曲线的离心率为 ，则b的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A） （B） （C） （D） （5）在的展开式中，常数项为（A）-120 （B）120 （C）-160 （D）160（6）如图，半径为1的圆M与直线相切于点，圆M沿着直线滚动．当圆M滚动到圆时，圆与直线相切于点B．点运动到点，线段的长度为，则点到直线的距离为（A）1 （B） （C） （D）（7）已知函数与函数的图象关于y轴对称．若在区间（1,2）内单调递减，则m的取值范围为（A）[-1，+∞) （B）（-∞，-1] （C）[-2，+∞) （D）（-∞，-2]（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A) （B） （C） （D)（9）若数列满足，则“”是“为等比数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（10）形如（n是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出，不是质数，那么的位数是（参考数据； )（A）9 （B）10 （C）11 （D）12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知点P（1，2）在抛物线C：y2 =2px上，则抛物线C的准线方程为 ．（12）在等差数列{an}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{an}的前4项的和为 ．（13）已知非零向量a，b满足|a|=|a-b|，则（a-b）·b= ．（14）在△ABC中，AB=，∠B=，点D在边BC上，∠ADC=，CD=2，则AD= ；△ACD的面积为 ．（15）如图，在等边三角形ABC中，AB=6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为，给出下列三个结论：①函数的最大值为12 ；②函数的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是 ．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2， BC1=，点E为A1C1的中点．（I）求证：C1B⊥平面ABC：（II）求二面角A—BC—E的大小．（17）（本小题共14分）已知函数．（I）求的值；（II）从① ，；②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。（18）（本小题共14分）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（I）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（II）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（III）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．（19）（本小题共15分）已知函数．（I）当a=-1时，①求曲线在点（0，）处的切线方程；②求函数的最小值：（II）求证：当a∈（-2，0）时，曲线与y=1-lnx有且只有一个交点．（20）（本小题共14分）已知椭圆C：的离心率为，，，，的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P ，直线与直线交于点Q．求证：为等腰三角形．（21）（本小题共14分）已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质．（Ⅰ）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①； ②．（Ⅱ）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式.海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案 数 学 2020春阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）解：（Ⅰ）因为平面，平面所以. 在△中，,,,所以.所以. 因为, 平面，所以平面. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,,如图,以为原点建立空间直角坐标系. 则，，.，. 设平面的法向量为，则 即令则，,所以. 又因为平面的法向量为， 所以. 由题知二面角为锐角，所以其大小为. （17）解：（Ⅰ）. （Ⅱ）选择条件①.的一个周期为. . 因为,所以.所以 .所以 .当时，即时， 在取得最小值. 选择条件②.的一个周期为. . 因为,所以.所以 当时，即时， 在取得最小值. （18）解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以. （Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以的所有可能取值为,,. 且；；. 所以的分布列为：故的期望． （Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分. （19）解：（Ⅰ）①当时，，则 ． 所以 又， 所以曲线在点处的切线方程为 ②令，得. 此时，随的变化如下：可知，函数的最小值为1. （Ⅱ）由题意可知，. 令，则． 由（Ⅰ）中可知，故 ．因为， 则． 所以函数在区间上单调递增． 因为, 又因为， 所以有唯一的一个零点.即函数与有且只有一个交点. （20）解：（Ⅰ）由题 解得 所以椭圆方程为. （ = 2 \* ROMAN II）解法1证明：设直线方程为，直线方程为 由解得点. 由得，则.所以，.即. .于是直线的方程为，直线的方程为.由解得点 . 于是，所以轴. 设中点为，则点的纵坐标为.故中点在定直线上. 从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以△为等腰三角形. 解法2证明：设则. 直线方程为，直线方程为.由 解得点. 直线方程为，直线方程为.由解得点. . 于是，所以轴. .故中点在定直线上. 从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以△为等腰三角形. （21）解：（Ⅰ）①数列具有“性质”；②数列不具有“性质”. （Ⅱ）先证“充分性”：当数列 具有“性质”时，有又因为，所以， 进而有 结合有, 即“数列为常数列”； 再证“必要性”：若“数列为常数列”， 则有，即“数列 具有“性质”. （Ⅲ）首先证明：.因为具有“性质”，所以.当时有. 又因为且，所以有,进而有，所以,结合可得：. 然后利用反证法证明：.假设数列中存在相邻的两项之差大于，即存在满足：或，进而有.又因为，所以依次类推可得：，矛盾，所以有. 综上有：，结合可得，经验证，该通项公式满足，所以：.题号12345678910答案ABBDCCDCAB题号1112131415答案0，①②0120↘极小值↗