2020上海松江区高三5月模拟考质量监控测试（二模）数学试题含答案

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松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2020.5考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．若集合，，则= ▲ ．2．已知复数，（是虚数单位），若是纯虚数，则实数= ▲ ．3．已知动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则点的轨迹方程为 ▲ ．4．等差数列的前项和为，若，则= ▲ ．5．若的展开式中项的系数为，则实数= ▲ ．6．已知数列的首项，且满足，数列的前项和为，则 ▲ ．7．用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 ▲ 立方米．8．若函数是偶函数，则= ▲ ． 9．已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 ▲ ．10．已知函数，若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为_ ▲ ． 11．已知集合，元素称为集合的特征元素．对于中的元素与，定义：．当时，若是集合中的非特征元素，则的概率为 ▲ ．12．已知函数且为常数和且为常数，有以下命题： = 1 \* GB3 ①当时，函数没有零点； = 2 \* GB3 ② 当时，恰有3个不同的零点，则；  = 3 \* GB3 ③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列．其中的真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为 (A) (B) (C) (D) 14．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 或 15．在正方体中，、两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为 (A) (B) (C) (D) 16．已知实数，且，则当取得最大值时，这个数中，值为的个数为 (A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求点到平面的距离．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数．（1）求的最大值和最小正周期；（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万套)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足 ，求证：线段的中点在定直线上．21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求及应满足的条件； （3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中）， 记,求证：数列为等比数列的充要条件是或.松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学参考答案一．填空题1． 2．3 3． 4． 5．1 6．2 7． 8． 9． 10． 11． 12． = 2 \* GB3 ②二、选择题13．B 14．A 15．C 16．B三．解答题17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．（1）求异面直线AE与PD所成的角；（2）求点B到平面ECD的距离．解：（1）连AC、BD，两直线交于点O，连EO，因为E、O分别是PB、DB的中点，所以EO//PD，所以就是异面直线AE与PD所成的角 …………3分因为为正方形，且，所以 …………4分所以 …………6分（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵，点E是棱PB的中点，∴，，，，，，，，…………8分设平面ECD的法向量，则由 得取z＝2，得，…………11分∴点B到平面ECD的距离：…………14分18．已知函数．（1）求的最大值和最小正周期；（2）在中，内角、、的所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值.解：（1）………4分∴， ………………………………5分 ………………………………6分（2）由 得 因为 ，所以，得 ， ………………8分因为，由余弦定理，得 ，………………10分由 得 ，当且仅当时取得等号………12分∴面积，∴面积的最大值为 ………………14分19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时， A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.解：（1）………………4分，…………6分（2）若对任意的，公司都不产生亏损，则在恒成立 …………8分即，记，则，此时由于函数在单调递增 …………10分所以当时， …………12分∴即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损. ……14分20．如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上．解：（1）在方程中，令，解得.令，解得..椭圆方程为：.…………4分（2）…………6分设，，则…8分时， …………10分解法一：设 …………12分设，代入得：即： 代入得：即…………14分 ，所以点E在直线上 …………16分解法二：设…………12分也是弦的中点，…………14分代入化简，得：所以点E在直线上．…………16分21．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求的性质集； （3）已知函数不存在零点，且当时具有性质（其中），若,求证：数列为等比数列的充要条件是或.解：（1）若函数具有性质，则存在实常数及，使得对任意的都成立…………2分即：，不合题意，舍函数不具有性质 …………4分（2）由题意：存在实常数及，使得对任意的都成立即：化简，得：…(1)对任意的都成立…………6分在(1)中令，得：，代入(1)，得：所以 解得或…………8分所以 或…………10分（3）证明：由函数不存在零点，且具有性质知，对任意的，都有即…… = 1 \* GB3 ① …………12分∴ ，记，则…… = 2 \* GB3 ② …………14分充分性：当时，，反复代入 = 2 \* GB3 ②式得 即对任意的，都有，∴数列是以为首项，为公比的等比数列同理，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列…………16分必要性：若数列是等比数列，不妨设，则又由 = 1 \* GB3 ①知 ∴，∴，即 ∴或即或. …………18分证法二由函数不存在零点，且具有性质知，对任意的，都有即…… = 1 \* GB3 ① …………12分对 = 1 \* GB3 ①变形可得如下两式…… = 2 \* GB3 ②…… = 3 \* GB3 ③由 = 2 \* GB3 ②得…… = 4 \* GB3 ④由 = 3 \* GB3 ③得…… = 5 \* GB3 ⑤ = 4 \* GB3 ④- = 5 \* GB3 ⑤得：∴ …………16分当.时，，当时，，此时是等比数列；当且时，显然不是等比数列． …………18分