2020泸县五中高三下学期第二次月考数学（理）试题含答案

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2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A． B．C． D．2．复数的虚部为A． B． C．2 D．-23．已知向量，且，那么的值为A． B． C． D．4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是A．6 B．10 C．91 D．925．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，得到函数，那么的值为A． B． C． D．6．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A． B．C． D．7．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．8．，则的大小关系为A． B． C． D．9．设函数，下述四个结论：①是偶函数；②的最小正周期为；③的最小值为0；④在上有3个零点其中所有正确结论的编号是A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④10．四面体的四个顶点都在球的表面上，，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为A． B． C． D．11．已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为A． B． C．4 D．412．在平面直角坐标系中，已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．第 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷 非选择题（90分）填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______.14．已知集合，，若，则实数的取值范围是____．15．2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.16．已知数列满足)， ,则数列中最大项的值是__________．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？（Ⅱ）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（ = 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望.18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，设.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周长为8，求的面积的取值范围.19．（12分）如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.20．（12分）已知的两个顶点的坐标分别为，，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.21．（12分）已知为常数，，函数，（其中是自然对数的底数）.（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若正数，，满足，求的最小值.2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试理科数学参考答案1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．D 9．B 10．A 11．B 12．B13．6 14． 15．144 16．17．解：（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好（2）乙频率分布直方图如下图所示（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则的取值为0，1，2；；所以的分布列为18．（1）且，又，（2）由题意知：，或（舍）（当时取“”）综上，的面积的取值范围为19.（1）如图所示：分别取，的中点，，连结，，，则，，平面与平面都与平面垂直，平面，平面，由线面垂直的性质定理得，，四边形是平行四边形，，平面，平面．（2）如图，以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量，设平面的法向量，则，取，得．设二面角的平面角为，由图知为钝角，．∴二面角的余弦值为，则正弦值为．20．解：（Ⅰ）设，因为点的坐标为，所以直线的斜率为同理，直线的斜率为由题设条件可得，.化简整理得，顶点的轨迹的方程为：.（Ⅱ）设，，，因为为的重心，所以，所以，，由得，，，，，∴，又点在椭圆上，所以，∴，因为为的重心，所以是的倍，，原点到直线的距离为，.所以，所以，的面积为定值，该定值为.21解：（1）（），所以切线的斜率，整理得，显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故．（2），，设，则，易知在上是减函数，从而．①当，即时，，在区间上是增函数，∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．∴在区间上是减函数，所以满足题意．　②当，即时，设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减，又∵，∴，又∵，∴在内有唯一一个零点，当时，，当时，.从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.∴不合题意．综上①②得，．22．解：（1）曲线的直角坐标方程为，将极坐标与直角坐标的互化公式：代入，可得曲线的极坐标方程为.联立与，得∴曲线与公共弦所在直线的极坐标方程,（或和）（2）把，代入，，得；又，则=2，可得所以，23．解：（1）化简得.①当时，，由，即，解得，又，所以；②当时，，由，即，解得，又，所以；③当时，不满足，此时不等式无解；综上，不等式的解集为：.（2）由于，故，∴，∵，∴由柯西不等式：上式.当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.012