2020汉中高三教学质量第二次检测考试数学（理）试题含答案

汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试

理科数学

本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，全集，则集合中的元素共有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2.在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.若，则下列不等式中不成立的是（    ）

A． B． C． D．

4.总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ）

A．08 B．07 C．02 D．01

5.已知函数，则下列判断错误的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的值域为

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

6.已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（    ）

A．充分必要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

7.设则的值为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

8.在直角中，，，，若，则（    ）

A． B． C．18 D．

9.如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（    ）

A． B． C． D．

10.函数的图像大致是（    ）

A． B． C． D．

11.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是（    ）

A．9 B．10 C．7 D．8

12.已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.展开式中的系数为_____.

14.在中，内角的对边分别是，若，，则____.

15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_____种.

16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，，分别为的中点，，则球的体积为_____.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.设等差数列满足，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求的前项和及使得最小的的值.

18.如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，，，求二面角的正弦值.

19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.

（Ⅰ）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；

（Ⅱ）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？

（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：

20.如图，椭圆的长轴长为4，点为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.

21.已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（Ⅱ）已知点，直线与曲线交于两点，求.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数.当时，，求的取值范围.

汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试

理科数学参考答案

一、选择题：

二、填空题

13.30    14.    15.432    16.

三、解答题

17解：（1）设等差数列的公差为，由及，得

解得

数列的通项公式为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

因为

所以时，取得最小值.

18解：（Ⅰ）证明  因为平面，平面，

所以.

因为，，所以.

又，所以平面.

（Ⅱ）解由（1）可知.

在中，，

.

所以.

又因为，，所以四边形为矩形.

如图建立坐标系，

则：，，，，

所以：，

设平面的法向量为，

即，

令，则，

由题平面，即平面的法向量为

由二面角的平面角为锐角，设二面角的平面角为

即

所以

所以二面角的正弦值为

19.解：（Ⅰ）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有（人）

所以后三组频数依次为24，21，18，

所以视力在5.0以上的频率为0.18，

故全年级视力在5.0以上的人数约为人

（Ⅱ），

因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.

（Ⅲ）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，

可取0，1，2

，，，

的分布列

的数学期望.

21解：（Ⅰ）的定义域为，

因为，

所以，

当时，令，得，令，得；

当时，则，令，得，或，

令，得；

当时，，

当时，则，令，得；

综上所述，当时，在上递增，在上递减；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

当时，在上递增；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

（Ⅱ）在定义域内是是增函数，由（1）可知，此时，设，

又因为，则，

设，，则

对于任意成立所以在上是增函数，所以对于，有，

即，有，

因为，所以，

即，又在递增，

所以，即.

22.解：（Ⅰ）对于曲线的极坐标方程为，可得，

又由，可得，即，

所以曲线的直角坐标方程为.

由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，

直线的普通方程为，即.

（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.

化简得，则，.

所以.

23.解：（1）当时，.解不等式得.

因此的解集为.

（Ⅱ）当时，，

所以当时，等价于.①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.