2020深圳高三第二次线上统一测试（4月）数学（理）含答案

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试卷类型：A

2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试

理科数学

本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|<2x≤2}，B＝{x|ln(x－)≤0}，则A∩(B)＝

A.      B.(－1，]     C.[，1)     D.(－1，1]

2.棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos＋isin)6在复平面内所对应的点位于

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

3.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是

A.－7<a<24     B.a＝7或a＝24     C.a<7或a>24     D.－24<a<7

4.已知是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a的取值范围是

A.(0，1)     B.(0，)      C.[，)     D.[，1)

5.在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥AB，，＝1，则＝

A.2     B.     C.     D.

6.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为

A.     B.6     C.     D.2

7.在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，已知3a8＝5a13，且a1>0，若Sn取得最大值，则n为

A.20     B.21     C.22     D.23

8.已知抛物线y2＝8x，过点A(2，0)作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为

A.     B.     C.     D.8

9.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数。现有下列结论：

①函数f(x)的图象关于直线x＝对称      ②函数f(x)的图象关于点(，0)对称

③函数f(x)在区间[－，]上单调递减    ④函数f(x)在[，]上有3个零点

其中所有正确结论的编号是

A.①②     B.③④     C.②③     D.①③

10.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6。设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3：1获胜的概率是

A.0.0402     B.0.2592     C.0.0864     D.0.1728

11.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则x∈[－2，0]时，f(x)的解析式为

A.f(x)＝2＋|x＋1|     B.f(x)＝3－|x＋1|     C.f(x)＝2－x     D.f(x)＝x＋4

12.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点。直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为

A.     B.     C.     D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知x轴为曲线f(x)＝4x3＋4(a－1)x＋1的切线，则a的值为           。

14.已知Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－2，则S5－S4＝           。

15.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是           。

16.在平面直角坐标系中，过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于A，B两点，C为椭圆的右焦点，且△ABC是等腰直角三角形，且∠A＝90°，则椭圆的离心率为        。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知sin2B＝sinAsinC。

(1)求证：0<B≤；

(2)求的取值范围。

18.(本小题满分12分)

如图所示，四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，AD//BC，SA＝AB＝BC＝CD＝1，AD＝2。

(1)在棱SD上是否存在一点P，使得CP//平面SAB?请证明你的结论；

(2)求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值。

19.(本小题满分12分)

已知椭圆C：，A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，M为椭圆上的动点。

(1)求∠AMB的最大值，并证明你的结论；

(2)设直线AM的斜率为k，且k∈(－，－)，求直线BM的斜率的取值范围。

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝ex(e为自然对数的底数)。

(1)讨论函数在定义域内极值点的个数；

(2)设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，y0)处的切线，证明：在区间(0，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切。

21.(本小题满分12分)

2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者(无境外输入病例)。

(1)为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：

由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z服从正态分布N(µ，15.22)，其中µ近似为这100名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)。请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上(≥70)的患者比例；

(2)截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者(均已接受检测)中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n(1<n<20且n是20的约数)个人一组平均分组，并将同组的n个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n个人抽取的另一半血液逐一化验，记n个人中患者的人数为Xn，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n的值。

参考数据：若Z～N(µ，σ2)，则P(µ－σ<Z<µ＋σ)＝0.6826，P(µ－2σ<Z<µ＋2σ)＝0.9544，P(µ－3σ<Y<µ＋3σ)＝0.9973，0.94≈0.66，0.95≈0.59，0.910≈0.35。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l1：(t为参数，0<α<)，曲线C1：(β为参数)，l1与C1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求C1的极坐标方程及点A的极坐标；

(2)已知直线l2：θ＝(ρ∈R)与圆C2：ρ2－4cosθ＋2＝0交于B，C两点，记△AOB的面积为S1，△COC2的面积为S2，求的值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知f(x)＝|x－2a|。

(1)当a＝1时，解不等式f(x)>2x＋1；

(2)若存在实数a∈(1，＋∞)，使得关于x的不等式有实数解，求实数m的取值范围。