2020贵阳第三十八中学高三上学期模拟考试数学（理）试题含解析

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理科数学满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A． B． C． D．2．已知集合，集合，则下列说法正确的是（ ）A． B．C． D．3．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）A． B． C． D．已知命题；命题．则下列命题中是真命题的为（ ） B． C． D．5．如图所示，线段是正方形的一条对角线，现以为一条边，作正方形BEFD，记正方形与BEFD的公共部分为（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD中投掷一点，该点落在内的概率为（ ）A． B． C． D．6．已知某几何体的顶点满足，则下列图形中，该几何体的三视图不可能为（ ）7．运行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0已知等腰梯形中，，若，则的最小值为（ ）A．4 B． C． D．89．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）A．66立方尺 B．78立方尺 C．84立方尺 D．92立方尺10．已知函数在上仅有1个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（ ）A． B． C． D．11．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且（表示直线的斜率），则的面积为（ ）A． B． C． D．12．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上的所有实数根之和为（ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且双曲线的焦距为8，则双曲线的方程为 ．14．二项式的展开式中，含的项的系数为 ．15．已知实数满足，则的取值范围为 ．16．已知数列满足，且．等比数列的通项公式为．若数列的满足，则数列的前项和为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知中，,，．（1）证明：为等边三角形；（2）若的面积为，求的正弦值．18．（12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）： （1）请计算这21位居民问卷的平均得分；（2）若成绩在80分以上问卷中从中任取3份，求这3份试卷的成绩都在85以上（含85分）的概率；（3）从成绩在90分以上（含90分）的居民中挑选4人参加深入探讨，记抽取的4个居民中成绩为99分的人数为，求的分布列与期望．19．（12分）已知四棱锥中，，，平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，且，直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点为直线与的交点，若是一个与k无关的常数，过点且与直线垂直的直线交椭圆于两点，求四边形的面积的最小值．21．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率．23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，若正实数满足，求的最小值．选题题号（请在所选的题号后√）：22□ 23□选考题答题区：答案1．答案：A解析：依题意，，故，即，故选A．2．答案：B解析：依题意，，，故，故选B．3．答案：D解析：依题意，，故，故，故，故选D．4．答案：C解析：取，可知，故命题为真；因为，当且仅当时等号成立，故命题为真；故为真，故选C．5．答案：B解析：依题意，不妨设，故五边形ABEFD的面积，阴影的面积为 EQ \F(1,2)，故所求概率为，故选B．6．答案：D解析：在正方体模型中作出该几何体的直观图如下所示，可知A，B，C分别是正视图、侧视图以及俯视图，观察可知，故选D．7．答案：C解析：运行该程序，第一次是，，第二次是，，第三次是，，第四次是，，第五次是，，第六次，否，跳出循环，输出a＝1．故选C．8．答案：C解析：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易求，∠DAB＝60°，则，因为，所以，则，故选C．9．答案：C解析：如图，在上取,使得，连接，故多面体的体积，故选C．10．答案：C解析：依题意，，故，解得，且，故，故，故选C．11．答案：C解析：依题意，抛物线；因为，故直线与x轴正半轴所成角为120°，故为等边三角形，则，则的面积为，故选C．12．答案：C解析：因为，故，故函数的一个对称轴为；且，故函数的周期为8，作出函数的图像如下所示；联立解得，故，由周期性可得所有实数根之和为，故选C．13．答案：或解析：依题意，设双曲线的方程为，故，则或；解得或，故双曲线的方程为或．14．答案：解析：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，故所求系数为．15．答案：解析：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，表示平面区域内的点与点之间连线的斜率，观察可知16．答案：解析：依题意，，故，故，故．故数列是以3为首项，3为公差的等差数列；故，故，令，故数列的前项和为，而数列的前项和为，由分组求和法可知，数列的前项和为．17．解析：（1）在中，，由余弦定理得，所以，解得．又，所以是等边三角形．（6分）（2）因为，且，t所以，故，解得，在中，，所以．在中，由正弦定理得, 所以．（12分）18．解析：（1）依题意，所求平均得分为．（4分）设事件：80分以上问卷中任取3份，成绩都在85以上，则所求概率．（7分）（3）依题意，的可能取值为；故，，故的分布列为：故．（12分）19．解析：（1）因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以CE⊥平面，而平面，故．（4分）取BE的中点，因为，故，因为平面平面，平面平面，故平面．以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，则,.设平面的法向量为，则，即，令，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，，观察图形知二面角为钝二面角，则二面角的余弦值．（12分）20．解析：（1）联立解得，故，又，，联立三式，解得，故椭圆的方程为．（4分）（2）联立，解得；设，联立方程组消去得，，，又是一个与k无关的常数，，即，；， ，适合，同理，故，当且仅当时等号成立，故四边形的面积的最小值为．（12分）21．解析：（1），令，得，故，故，解得．令f ′(x)＞0得，令f ′(x)＜0得，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（4分）（2）令，；令，则，（ⅰ）当时，因为当时，,，所以，所以即在上单调递增．又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立；（ⅱ）当时，可得在上单调递增．因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，所以当时，，即不成立；综上所述，的取值范围是．（12分）22．解析：（1）依题意，直线，可知直线是过原点的直线，故其极坐标方程为；曲线，故曲线的直角坐标方程为．（5分）（2）依题意，直线的极坐标方程为；设对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得；故，故，故，则，，故直线的斜率为．（10分）23．解析：（1）依题意，，当时，，解得，当时，，故；当时，，故；综上，所求不等式的解集为{x|}．（5分）（2）依题意，，故，故当且仅当时等号成立，故的最小值为．（10分）0123