2020唐山高三上学期期末考试数学（理）试题扫描版含答案

唐山市2019—2020学年度高三年级第一学期期末考试

理科数学参考答案

一．选择题：

A卷：DACBA BCDCD AC

B卷：DACBD BCDCA AC

二．填空题：

13．5  14．9  15．7  16．①②

三．解答题：

17．解：

（1）在Sn＝2n＋1－2中，

令n＝1，得a1＝S1＝21＋1－2＝2，

当n≥2时，Sn－1＝2n－2，
则an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n．
又因为a1＝2符合上式，
所以，an＝2n．          …4分

（2）由（1）得bn＝＝，则

Tn＝＋＋…＋＋ ①，则
Tn＝＋＋…＋＋ ②，
①－②，得
Tn＝1＋＋＋…＋－＝－，
则Tn＝3－．          …12分

18．解：

（1）因为AB是圆的直径，

所以BC⊥AC，

因为PC垂直圆所在的平面，

所以PC⊥BC，

又因为AC∩PC＝C，

所以BC⊥平面PAC．

因为D，E分别是棱PB，PC的中点，

所以BC∥DE，

从而有DE⊥平面PAC．        …4分

（2）由（1）可知，DE⊥AE，DE⊥EC，

所以∠AEC为二面角A－DE－C的平面角，

从而有∠AEC＝45°，

则AC＝EC＝PC＝2，又BC⊥AC，

AB＝4，得BC＝2．         …7分

以C为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz．

则C(0，0，0)，A(0， 2，0)，E(0，0，2)，
B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(，0，2)，
＝(0，－2，2)，＝(0，2，0)，
＝(，0，2)．

设n＝(x，y，z)是平面ACD的法向量，则

即可取n＝(2，0，－)．     …10分

故cosn，＝＝－．      …11分

所以直线AE与平面ACD所成角的正弦值为．    …12分

19．解：

（1）依题意可得列联表

             …2分
 

将列联表中的数据代入公式计算得

k＝＝≈5.573＜6.635， …5分

所以，不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”．                                                                                                                                                                                                    …6分

（2）由（1）可知，从该校2018级高一学生中任取一名同学，该同学选择物理的概率P＝＝，

X可取0，1，2，3．

P(X＝0)＝C×(1－)3＝，

P(X＝1)＝C××(1－)2＝，

P(X＝2)＝C×()2×(1－)＝，

P(X＝3)＝C×()3＝．       …10分

X的分布列为：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．      …12分

20．解：

（1）由已知可得，解得

故E的方程为＋y2＝1．        …4分

（2）设直线PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3．

由题意设l：y＝k(x－1)，则C(4，3k)，k3＝＝k－．  …6分

将y＝k(x－1)，代入＋y2＝1得

(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝．       …8分

而k1＋k2＝＋

＝＋－(＋)

＝2k－×

＝2k－．         …10分

则k1＋k2＝2k3，

所以，直线PA，PC，PB的斜率成等差数列．     …12分

21．解：

（1）f(x)＝x＋cosx－xsinx－cosx＝x(－sinx)，  …2分

由f(x)＝0及x∈[－π，π]，得x＝0或或．

当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：

…5分

所以f(x)的单调递减区间为[－π，0)，(，)；

f(x)的单调递增区间为(0，)，(，π]．     …6分

（2）当x∈[－π，π]时，由（1）得，

f(x)的极小值分别为f(0)＝0，f()＜f()＝－＜0；

极大值f()＞f(0)＝0．
又f(π)＝－π＞0，
所以f(x)在[－π，0]上仅有一个零点0；
在(0，)，(，π]上各有一个零点．      …8分

当x＜－π时，f(x)≥＋x－sinx，
令g(x)＝＋x－sinx，则g(x)＝x＋－cosx，
显然x∈(－，－π)时，g(x)单调递增，g(x)＜g(－π)＝2－π＜0；
当x∈(－∞，－]时，g(x)≤－＋2＜0，
从而x＜－π时，g(x)＜0，g(x)单调递减，
因此g(x)＞g(－π)＝－π＞0，即f(x)≥g(x)＞0，

所以f(x)在(－∞，－π)上没有零点．      …10分

当x＞π时，f(x)≥－x－sinx，
令h(x)＝－x－sinx，则h(x)＝x－－cosx，
显然x∈(π， )时，－cosx＞0，h(x)＞0；
当x∈[，＋∞)时，h(x)≥－2＞0，
从而x＞π时，h(x)＞0，h(x)单调递增，
因此h(x)＞h(π)＝－π＞0，即f(x)≥h(x)＞0，

所以f(x)在(π，＋∞)上没有零点．
故f(x)在R上仅有三个零点．       …12分

22．解：

（1）因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以圆C：ρ＝2cosθ，直线l：ρsinθ＝2．     …4分

（2）设A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋α)，－＜θ＜．

依题意可得，ρA＝2cosθ，ρBsin(θ＋α)＝2，ρBcosα＝ρA．

所以2cosθsin(θ＋α)＝2cosα，

从而cosθsinθcosα＋cos2θsinα＝cosα，

所以tanα＝＝tan2θ－tanθ＋1＝(tanθ－)2＋，

所以tanθ＝时，tanα取得最小值．      …10分

23．解：

（1）因为(＋)(2a＋b)＝＋＋5≥9，又2a＋b＝3，

故此， ＋≥3，当且仅当＝，即a＝b＝1时等号成立．  …4分

（2）因为(2a＋b)(c＋d)＝2ac＋bd＋bc＋2ad≥2ac＋bd＋2＝(＋)2，

所以＋≤，当且仅当bc＝2ad时等号成立，

此时＝＝＝3，故当＝时，＋取得最大值． …10分

注：试题有其他解法，参照答案赋分．