2020天津市军粮城二中高三上学期12月月考数学试题含答案

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天津市军粮城第二中学2019—2020学年高三年级上12月数学考试题 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）A． B． C． D．2．设集合，则（ ）A． B．C． D．3．过点作圆的切线L，则L的方程为（ ）A． B．或C． D．或4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）A．1 B． C． D．5．设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）A． B． C． D．6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为；B．在区间上单调递增；C．的图像关于点对称D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，可得到.7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，且相交于两点，直线AF交抛物线与另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．3 yxOBFCA8．设函数在上可导，，有且；对，有恒成立，则的解集为（ ）A． B．C． D．9．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．复数，则 ▲ .11．曲线在点处的切线方程为 ▲ .12．在的二项展开式中，含项的系数是 ▲ .（用数字作答）13．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为1的正六边形，则球的体积为 ▲ .14．若，则的最小值为 ▲ .15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围为 ▲ .三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（本小题满分14分）在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.17．（本小题满分15分）菱形中，平面，，，（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；FEDCBA（Ⅲ）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.18．（本小题满分14分）已知点分别是椭圆（）的左顶点和上顶点，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的标准方程；（ = 2 \* ROMAN II）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线的方程.19．（本小题满分16分）已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和,，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且，（ = 1 \* ROMAN I）求数列和的通项公式；（ = 2 \* ROMAN II）令，求数列的前项和为；（ = 3 \* ROMAN III）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．20．（本小题满分16分）已知，（Ⅰ）求在处的切线方程以及的单调性；（Ⅱ）对，有恒成立，求的最大整数解；（Ⅲ）令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：.参考答案一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.1—5：AACDB 6—9：BDCA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．1 11． 12．7013． 14．4 15．三、解答题：本大题共5个小题，共75分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由，及，得.（2分）由及余弦定理，得.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，（7分）代入，得.（8分）由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.（9分）于是，（10分），（11分）故.（14分）17．（本小题满分15分）FEDCBAxyz解：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），（1分）则，，，，，.（2分）（Ⅰ）证明：，，设为平面的法向量，则，即，可得，（3分）又，可得，（4分）又因为直线平面，所以直线平面；（5分）（Ⅱ），，，设为平面的法向量，则，即，可得，（6分）设为平面的法向量，则，即，可得，（7分）所以，（8分）所以二面角的正弦值为；（9分）（Ⅲ）设，则，（10分）则，，（11分）设为平面的法向量，则，即，可得，（12分）由，得，（13分）解得或（舍），（14分） 所以.（15分）18．（本小题满分14分）解：（ = 1 \* ROMAN I）依题意知：,,，,,（1分）则，（2分）又，∴，（3分）∴椭圆的标准方程为：.（4分）（ = 2 \* ROMAN II）由题意，设直线的斜率为，直线方程为所以，设，中点为，由消去得（5分）∴ ∴（7分）∴（9分）∴中垂线方程为：令得 ∴（10分） ∴，（11分） （12分） 解得 ∴（13分）∴直线的方程为，即（14分）19．（本小题满分16分）（ = 1 \* ROMAN I）由已知，得 ，即， 也即解得 （1分） 故数列的通项为．（2分），是首项为1，公差为的等差数列，（3分）（4分），（5分）（ = 2 \* ROMAN II）（5分） （9分）（10分）（ = 3 \* ROMAN III）数列前项和，数列的前项和； = 1 \* GB3 ①当，（11分） = 2 \* GB3 ②当 = 1 \* GB2 ⑴当时， = 2 \* GB2 ⑵当时,（13分） = 3 \* GB3 ③当（15分）综上………（16分）20．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）；（1分）；（2分）所以切线方程为；（3分），所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（5分）（Ⅱ）等价于；（6分），（7分）记，所以为上的递增函数，（8分）且，所以即，（9分）所以在上递减，在上递增，且；（10分）所以的最大整数解为3.（11分）（Ⅲ），得，（12分）当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；（13分）因为，，令，由，即：，而即：由，只需证：，（14分）令，则令，则故在上递增，；（15分）故在上递增，；∴.（16分）