2020贵阳一中高三上学期第四次月考数学（理）试题扫描版含答案

贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（四）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．，故选B．

2．，故选C．

3．，故选B．

4．，故选D．

5．常数项，故选C．

6．，且，函数为偶函数，故选D．

7．，故选B．

8．通过作图，观察图象可知，，所以，故选A．

9．由题，，图象如图1，由图可知，取到的最小可能为，因为，，所以最小值为4，故选B．

10．因为，所以A正确；当，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为，所以B正确；AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直．若，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE⊥平面BCD，所以，所以，所以，这与矛盾，所以AB与CD不垂直，所以正确，故选D．

11．有如下两种情况：（1）；         （2）．

图2

（1）如图2甲，可求出A，B的坐标分别为，所以；同理可得当时，满足条件的离心率，故选C．

12．设，则在，在，，

，令

，，所以当，即时，N取到最大值，所以面积的最大值为，故选B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．答案不唯一，满足条件即可．例如：

14．，则成绩在120分以上的人数有

，所以34或35均可．

15．过抛物线的焦点且平行于y轴的直线与抛物线交于，所围成的面积为，所以抛物线的方程为．

16．，因为

，所以的最大值为8．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（1）为常数列；

是首项为10，公差为10的等差数列；

，

所以是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）

所以．……………………………………………………………（6分）

（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，

由（1）知：，

因为，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：

，

所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）

（2）由表格可计算出：，

，…………………………………（8分）

关于的回归直线方程为．…………………………………………（10分）

令．

所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．

………………………………………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）证明：设BF的中点为H，，连接HG，HO．

因为G是BE的中点，所以，

所以四边形AGHO是平行四边形，

所以，又因为平面BDF，平面BDF，

所以平面BDF．……………………………………………………………………（6分）

（2）解：因为菱形和矩形所在平面互相垂直，所以可建立如图3的空间直角

坐标系，设，

则

．

设平面ABE与平面BDE的法向量分别为

，

则

令，……………………………………（9分）

．……………………………………………………………（10分）

令，……………………………………（11分）

所以．…………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

证明：（1）因为在椭圆上，所以，所以P也在直线上．……（1分）

联立直线和椭圆方程

………………………………………………………………………………………（3分）

因为P在椭圆上，所以

所以直线l与椭圆相切，又因为，

所以直线l是椭圆在点P处的切线．……………………………………………………（6分）

（2）设关于直线的对称点为，

则的中点在直线l上，直线与l垂直，

即 ……………………………………………………………（8分）

……………………………………………………（10分）

，

所以三点共线，

所以从发出的光线经直线反射后经过．…………………………………（12分）

（注：此题证明方法较多，请酌情给分）

21．（本小题满分12分）

（1）证明：令，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为，即，

所以，都有．……………………………………………………（4分）

（2）解：，

，

所以的零点个数等于方程解的个数．

令，

所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，

且由（1）知，，

所以时，有且只有一个解，

所以若函数，…………………（8分）

，

令，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，

所以，

即，

同理可得：当，

所以和分别是函数的极大值点和极小值点．

所以时，的极大值为e−1，极小值为0．…………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t后，小虫爬行的距离为2t，

其所在位置为所以该射线的参数方程为．

………………………………………………………………………………………（5分）

（2）曲线C1的直角坐标方程为；

将射线的参数方程带入曲线C1的方程，得，

设t1，t2分别为小虫爬入和爬出的时间，则，

逗留时间，

所以小虫在圆内逗留的时间为4min．…………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：如图4，（1），

．………………（5分）

（2）由（1）知，，

所以，

，

所以的最小值为．……………………………………………………………（10分）