2021芜湖高二下学期期中联考理科数学试题含答案

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芜湖市2020～2021学年度第二学期期中普通高中联考试卷高二数学（理科）（答案写在答题卡上）（满分100分，时间120分钟）一、单选题（12题，每题3分，共36分）1．空间中有平面和直线、，若，，则下列命题必是假命题的是（ ）．A． B． C． D．直线和共面2．“”是“”的（ ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为（ ）．A． B．C． D．4．曲线在点处的切线倾斜角为（ ）．A． B． C． D．5．设，为椭圆的两焦点，在椭圆上，当面积为1时，的值为（ ）．A．0 B．1 C．2 D．6．已知是棱长为2的正方体内切球的一条直径，则（ ）．A． B．1 C． D．27．如图所示阴影部分是由函数、、和围成的封闭图形，则其面积（ ）．A． B． C． D．8．以抛物线的焦点为圆心，为半径的圆，与直线相切，则（ ）．A．1或 B．或9 C．3或 D．或79．已知双曲线的渐进线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）．A． B． C． D．10．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①；②；③；④，其中有“巧值点”的函数的个数是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．411．棱长为1的正四面体中，点，分别是线段，上的点，且满足，，则（ ）．A． B． C． D．12．已知函数，若函数有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）．A． B． C． D．二、填空题（4题，每题4分，共16分）13．设，且，，则______．14．如图所示，长方体中，，，点是线段的中点，点是正方形的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______．15．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数的动点的轨迹，若已知，，动点满足，此时阿波罗尼斯圆的方程为______．16．如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点．设顶点的轨迹方程式，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④．其中判断正确的序号是______．三、解答题（5题，共48分）17．（6分）已知，；：函数有两个零点．（1）写出命题；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18．（10分）己知函数．（1）若函数在和处取得极值，试求，的值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．19．（10分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．20．（10分）如图，四边形为正方形，平面，，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）平面直角坐标系中，椭圆，抛物线．设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．（1）求证：点在定直线上；（2）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值．芜湖市2020～2021学年度第二学期期中普通高中联考试卷高二数学（理科）参考答案1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C 9．C 10．B11．A 12．D13．1 14． 15． 16．①②④17．（满分6分）（1），（2）若为真命题， 为假命题，则，一真一假．若真假，则实数满足，即； 若假真，则实数满足，即．综上所述，实数的取值范围为．18．（满分10分）（1），∵在和处取得极值，∴，3是方程的两根．∴．由（1）知，，当变化时，有下表：而，，∴当时，的最大值是，要使恒成立，只要即可．当时，，得；当时，，得．综合可得，．19．（满分10分）（1）设，，则，，，由得，， 因为在上，所以．即的轨迹方程是． （2）证：由题意知，设，，则，，，，由得，又由（1）知：，故．所以，即．由过点存在唯一直线垂直，所以过点且垂直于的直线过的左焦点．20．（满分10分）（1）证明：如图建系. 依题意有，，，则，，．所以，，即，，故平面．（2）依题意有，，， 设是平面的法向量，则：，即．因此可取．设是平面的法向量，则：，可取，所以．故二面角的余弦值为． 21．（满分12分）（1）证：设，由可得，所以直线斜率为，因此直线方程为，即．设，，，联立，得．由，得（或）． （*）且．因此，将其代入得，因为，所以直线方程为．联立得点纵坐标，所以点在定直线上．（2）由（1）知直线方程为．令，得，所以．又，，，所以，，所以，设，则．当，即时，取到最大值． 3＋0－0＋极大值极小值