2021南通如皋中学高二下学期第二次阶段考试数学试题含答案

江苏省如皋中学2020~2021学年度第二学期第二次阶段考试

高二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2. 已知是虚数单位，若，则的模为（    ）

A．1           B．       C． D．

3.已知点在函数的图像上，且角的终边所在的直线过点，

则=（    ）

A.      B.       C.    D.

4.若，则的值为（    ）

A.      B.        C. 或        D.

5. 函数的图像大致为（    ）

6. 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的直径大约为（    ）米.（结果精确到1米）（参考数据：，，，）

A.39           B.43    

C.49           D.53

7. 定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（    ）

A.  B.       C.      D.

8. 已知函数是定义域为R的偶函数，且是奇函数，当0≤x≤1时，有，若函数的零点个数为5，则实数k取值范围是

A.         B.                        （    ）

C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题中正确的是（      ）

A.“”是“”的必要不充分条件；

B.“”是”的充要条件；

C.“，”是真命题；

D.“，”的否定是：“，”

10. 已知函数，则下列说法正确的有（      ）

A．是偶函数

B．是周期函数

C．曲线在点处的切线方程为

D．在区间上，有且只有一个极值点

11. 已知函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，

若对于任意的，则值可以

为(      )

A.     B.      C.     D.

12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为

A.      B.        C.         D.                       （    ）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为________cm2.

14. 已知复数满足，则的最小值是               .

15.已知函数在区间上不单调，则的取值范围

是             .

16. 如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，

且使与直线交于点C，设，

则面积的最小值是_________，

周长的最小值是_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，.

（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；

（2）若命题“”为假命题，求实数的取值范围.

18. (1)计算

(2)已知均为锐角，且,求的值.

19. 在△中，分别为角所对的边，已知.

（1）求角

（2）若△为锐角三角形，且，求△的面积的取值范围.

20. 如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线AE排水管，在路南侧沿直线CF排水管，现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通．已知AB = 60 m，BC = 80 m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域ABCD内的排管费用为W．

（1）求W关于的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角．

说明：设某个角为自变量，注意确定自变量的范围。

21.已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，证明：．

22. 已知函数.

(1)求在上的最大值；

(2)用表示中的较小者．设，若有三个零点，求实数a的取值范围．

江苏省如皋中学2020—2021学年度第二学期第二次阶段考试

高二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1． A  2. D   3. C   4. D   5. C   6. D   7. B    8. C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. BC     10. ACD     11. CD    12. ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 80π    14. 3

15.

16. 4       

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解：（1）

，，故

（1）是的必要不充分条件，故是的真子集

，故的取值范围为---------------------------------5分

（2）命题“”为假命题，故

或     得或    

的取值范围为------------------------------------10分

18. (1)解析：原式＝

＝＝＝.------------5分

(2)解：(1)因为α，β∈，从而－<α－β<.

又因为tan(α－β)＝－<0，所以－<α－β<0.

所以sin(α－β)＝－.cos(α－β)＝.

因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.

所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝.-------------------------------------------------------12分

19. 解：（1）由正弦定理得：

    ………………………………………………………………5分

（2）由正弦定理得：

锐角三角形

    …………………………………12分

20. 解：（1）如图，过E作，

垂足为M，由题意得，

    故有，，，

所以

       ．------------------------------------------------------5分

    （2）设（其中，

则．

令得，即，得．

列表

所以当时有，此时有．

答：排管的最小费用为万元，相应的角．----------------------12分

21.解：（1）∵， ∴．

①当，即时，， 所以在单调递增；

②当，即时，令，得，，且，，当时，；

当时，；

∴单调递增区间为，；

单调递减区间为．

综上所述：当时，在单调递增；-----------------6分

时，在区间，单调递增；在区间单调递减．

（2）由（1）得．

∵函数有两个极值点，，

∴方程有两个根，，∴，且，解得．     

由题意得

 ．  令，

则， ∴在上单调递减，

∴， ∴．--------12分

22.解　(1)对对称轴为

当即时，

当即时，，综上：----4分

(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，所以h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，

所以h(x)在(1，＋∞)上无零点；所以h(x)在(0,1]上有三个零点，

f(1)＝＋a，g(1)＝0，当f(1)≥g(1)时，＋a≥0，得a≥－，

所以h(1)＝g(1)＝0，所以1是h(x)的一个零点；

当f(1)<g(1)时，a<－，

所以h(1)＝f(1)<0，所以1不是h(x)的一个零点；

当x∈(0,1)时，g(x)＝－ln x>0，

由题意可知，1是h(x)的一个零点，且f(x)＝x2＋ax＋在(0,1)上有两个零点，

所以a≥－，且解得－<a<－1.

综上所述，若h(x)有三个零点，则a的取值范围是.--------------------12分