2021南昌十中高二下学期第二次月考数学（理）试卷含答案

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南昌十中2020－2021学年下学期第二次月考 高二数学试题（理） 说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，注 意 事 项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用0．5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。2．作答非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔写在答题纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。3．考试结束后，请将答题纸交回。一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1.已知，若为纯虚数（为虚数单位），则的值为 （ ）A． B． C． D．2.将封信投入个邮箱，共有种投法A．4 B．6 C．8 D．93. A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有A．24种 B．36种 C．48种 D．60种4.用反证法证明命题“已知，如果可被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时,假设的内容应为（ ）A．都能被3整除 B．不都能被3整除C．都不能被3整除 D．不能被3整除5.设，，若，则的最小值为（ ）A． B． C． D．6.函数的定义域为为的导函数，且，则不等式的解集是（ ）A．B． C． D．7.函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．8.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．9.若定义在R上的函数满足其中是的导数，且，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．10.若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）A．14 B．-14 C．7 D．-711. “柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4-5中给出了二维形式的柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　）A． B． C． D．12.函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为A． B． C． D．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13.___14.为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.15.若，则_________．16.现有8名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教. 一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去2个人，有_________种不同的分配方案.三、解答题（本大题共6题，共计70分）17.（本小题10分）已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间.18.（本小题12分）已知函数．（1）当时，画出的图像，并求出的图像与轴围成的封闭图形的面积；（2）若不等式的解集包含求的取值范围．19.（本小题12分）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．20.（本小题12分）（1）已知a、b、c都是实数，求证：；（2）请用数学归纳法证明：.21.（本小题12分）设函数．(1)解不等式；(2)若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围．22.（本小题12分）已知函数.（1）当求的单调区间； （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.南昌十中2020－2021学年下学期第二次月考 高二数学（理） 参考答案与评分细则一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13. 14.丙 15. 16. 1260三、解答题（本大题共6题，共计70分）17.（1）当时，，则，所以，，.···2分所以，函数在处的切线方程，····5分因此，所求切线的方程为；（2）当时，，该函数的定义域为，，所以，函数的增区间为.···10分18. 解：（1）当时，···2分画出的图象，如图所示．···4分由图可知的图像与轴围成的封闭图形是三角形，其面积为．···6分（2）不等式的解集包含等价于时，．时，，···8分于是时，，即，所以且，得．故的取值范围为．（或者解出a的范围转化为恒成立问题也可以）···12分19.（1）∵，由，得且，解得，，···4分又，∴，∴；···6分（2）存在，使得，等价于，···8分∵，当时，，当时，，∴在上递减，在上递增，···10分又，，∴在上的最大值为，∴，解得，所以的取值范围是．···12分20.（本小题12分）证明:，①，②，③，④由①＋②＋③＋④得：，即.（分析法证明也可以）···6分（2）①当时，左边，右边，等式成立. ···7分②假设当时等式成立，即，则当时，，该等式成立···11分根据①②，原等式成立. ···12分21. (1) 不等式等价于或或解得或.故解集为： ；（如有一种情况讨论出错，对一种情况给1分）···5分(2) 对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域.，由单调性可得时，，所以的值域为.···7分,当且仅当与异号时取等，所以的值域为···10分由题：，所以，解得···12分22. （1）的定义域为，求导得，···1分令，得，解得，或．当时，，故在上单调递减.当时，，故在上单调递增.综上，的单调递减区间为；的单调递增区间为.···5分（2）的定义域为，求导得，有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，,，，···7分此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为恒成立，···8分令，则，···9分，，，在恒成立，在上单调递减，···10分，. 故实数的取值范围是.···12分题号123456789101112答案ACACBABDBABD