2021湛江第二十一中学高二下学期期中考试数学试卷含答案

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2020-2021学年第二学期湛江市第二十一中学期中考试高二数学 时间：120分钟 满分150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知集合，，则（ ）A． B． C． D．2．复数z满足，则（ ）A． B． C． D．3．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（ ）A．120种 B．48种 C．36种 D．18种4．在等差数列中，，，则（ ）A． B． C． D．5．函数的图像大致是（ ）A． B．C． D．6．“”是“函数在上为单调函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．直线l与双曲线的一条渐近线平行，且l过抛物线的焦点，交C于A，B两点，若，则E的离心率为（ ）A．2 B． C． D．8．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分， 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知圆锥曲线：，若三个数1，，7成等差数列，则的离心率为（ ）A． B． C． D．10．下列说法中正确的是（ ）A．设随机变量X服从二项分布，则B．已知随机变量X服从正态分布且，则C．；D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大11．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）A．B．函数的最小正周期为C．函数在区间上单调递增 D．函数关于点中心对称12．关于函数，下列判断正确的是（ ）A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对两个不相等的正实数，，若，则.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知m，n均为正数，，，且，则的最小值为____________.14．的展开式中的系数为___________.15．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为，则______.16．已知是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于两点，若，则斜率的值为______．四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）的内角的对边分别为．已知．（1）求；（2）若，当的周长最大时，求它的面积．18．（本题满分12分）已知数列满足（，），且，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．19．（本题满分12分）如图，在等腰梯形中，，，将沿着翻折，使得点到点，且．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．20．（本题满分12分）某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为y，求y的分布列及数学期望E（y）；若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）≈0.6827，且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2 σ）≈0.9545，则称S近似服从正态分布N（μ，σ2），若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N（225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？21．（本题满分12分）已知椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线与椭圆交于，两点（异于点）．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出该定值．22．（本题满分12分）已知函数.（1）若存在极值，求的取值范围；（2）当时，求证：.参考答案一、单项选择题8【详解】，在为减函数，而，∴在上，；在上，；而，∴在上，又函数为奇函数，∴在上.不等式等价于或，∴.故选：D.二、多项选择题12、【详解】A.函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；B.，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；C.若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；D.令，则，，令，则，∴在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，∴对任意两个正实数，，且，若，则，所以.故D正确.故选：BD.三、填空题13、4 14、40 15、 16、或16【详解】由题可知，该椭圆的方程为，直线，的方程分别为，设，其中，联立方程，故，由，知，由点D在直线AB上，则，所以或故答案为：或解答题17、【详解】（1）由正弦定理得：，······················2分，······························4分，；··································5分；（2）由余弦定理得：，···········6分（当且仅当时取等号），·················8分，当时，周长取得最大值，·············9分此时.································10分18、（Ⅰ）证明：∵当时，，······························1分∴． ········································2分∴，．···············································3分∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列． ···························4分（Ⅱ）解： ··············································5分∵， ①····················7分∴，② ····················8分①②：， ························10分∴．·································12分19、（1）证明：由等腰梯形，得．又，所以．····························1分又，，则，所以．·········2分又，所以平面，···································3分所以平面平面．·············································4分（2）如图，取的中点，连接，，，由四边形为菱形，且，得，记垂足为，··········5分由（1）知，平面平面，又，所以平面．·······6分同理，平面，所以OA，，两两垂直， 如图，建立以，，为，，轴正方向的空间直角坐标系．则，，所以，，，，所以，，，··········8设平面的法向量为，所以，即，不妨设，得所以平面的一个法向量为．························10分设直线与平面所成角为，，·····················11分∴．····························12分20、（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，···········1分解得x＝0.0075；························································2分（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4，···························3分所以随机变量y服从二项分布B～（3，0.4），···································4分故P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3，故y的分布列为 ··········································································7分则E（y）＝3×0.4＝1.2；···············································8分（3）记该市高三考生的理综成绩为z，由题意可知，P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827，···········10分P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545，·························11分所以z不近似服从正态分布N（225，225），所以这套试卷得到差评.···············12分21、（1）由题意得：，·········································2分则，······················································3分∴椭圆C的方程为．···········································4分（2）设，联立·················································5分化简可得：，························6分因为直线与椭圆交于两点∴·····························7分化简得:，解得，由根与系数的关系得：，，··············8分记直线PA，PB的斜率为，······························9分·······································10分··········································11分．所以直线的斜率之和为定值1．································12分22、（1）函数的定义域为，，··············································1分当时，对任意的，，故在上单调递增，无极值；···························2分当时，当时，，单调递增；································3分当时，，单调递减.·······························4分故在处取得极大值，无极小值.综上所述，若存在极值，则的取值范围为.·······················5分（2）当时，.设，其定义域为，则证明即可.·······················································6分，设，则，··············································7分故函数在上单调递增.，.有唯一的实根，且，···························8分.当时，；当时，，··················································9分故函数的最小值为..····················11分.························································12分1．A2．B3．C4．C5．B6．A7．B8．D9．BC10．ABD11．BC12．BD y0123 P0.216 0.4320.2880.064