2021江西师大附中高二下学期4月月考理科数学试题含答案

这是一份2021江西师大附中高二下学期4月月考理科数学试题含答案
江西师大附中高二（理）数学月考试卷 命题人： 审题人： 2021．4一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知是虚数单位，的虚部是（ ）A． B． C． D．2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（ ）A．，∥， B．，，∥C．，，∥ D．，∥，3．设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A． B． C． D．5．表示空间中的两条直线，若：是异面直线；：不相交，则是的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（ ）7．已知是虚数单位，得“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知长方体中，、与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（ ）A． B． C． D．10．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，有下列结论：①∥平面；②平面∥平面；③；④直线与所成角的大小为．其中正确结论的序号是（ ）A．①② B．①②③ C．②③ D．②③ = 4 \* GB3 ④11．在中，，，，为的中点，将沿折起，使点间的距离为，则折起后点 到平面的距离为（ ）A． B． C．1 D．12．如图，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积最大时其外接球的表面积是（ ）．A． B． C． D．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．已知，是虚数单位，若为纯虚数，则______．14．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是____． 15．已知正方体的棱长为，是线段上的一点且，是平面内一动点，则的最小值是____． 16．如图，在直角梯形中， ，∥，，点是线段上异于点的动点， 于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）如图，在三棱锥中，，，，．（1）根据图中所给的主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）上已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；（2）求证：． 18．（本题满分12分）如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2．（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积．19．（本题满分12分）在四棱锥中，底面为正方形，为的重心．（1）设，若∥平面，求实数的值；（2）若平面，且，求异面直线与所成的角．20．（本题满分12分）如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，是线段，上的两个动点（不含端点），且，平面与平面相交于．（1）求证：∥；（2）为上一个动点，求平面与平面所成锐二面角的最小值．21．（本题满分12分）如图甲，设正方形的边长为3，点分别在上，且满足，．将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上，如图乙所示．（1）证明：∥平面；（2）求二面角的余弦值．22．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，若，，，且．（1）求证：平面平面；（2）若，试问在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．江西师大附中高二（理）数学月考答案 命题人： 审题人： 2021．4一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知是虚数单位，的虚部是（）AA．B． C． D．2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（）CA．，∥， B．，，∥C．，，∥ D．，∥，3．设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）DA．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（）CA． B． C．D．5．表示空间中的两条直线，若：是异面直线；：不相交，则是的（A）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）C7．已知是虚数单位，得“”是“”的（）AA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知长方体中，、与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为(　　)AA．B．C． D．9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）BA． B． C． D．10．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，、分别为侧棱，的中点，有下列结论：①∥平面；②平面∥平面；③；④直线与所成角的大小为．其中正确结论的序号是（）BA．①②B．①②③C．②③ D．②③ = 4 \* GB3 ④11．在中，，，，为的中点，将沿折起，使点间的距离为，则折起后点到平面的距离为（）AA． B． C．1 D．12．如图，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积最大时其外接球的表面面积是（）．DA． B． C． D．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．已知，是虚数单位，若为纯虚数，则______．14．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是______．15．已知正方体的棱长为，是线段上的一点且，是平面内一动点，则的最小值是______．16．如图，在直角梯形中，，∥，，点是线段上异于点的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在三棱锥中，，，，．（1）根据图中所给主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）中已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；（2）求证：．【解析】（1）三棱锥的左视图和俯视图如图所示…………………………………………5分注：对一个给3分，全对得5分（2）因为，，，由勾股定理得，，………………………………………………7分从而， ………………………………………………………………9分所以． ………………………………………………………………………10分18．（本题满分12分）如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积．【解析】（1）如图，连接，作，易知平面，…………1分再作，连接，则，……………………………………………2分在梯形中，易得， ……………………………………………………4分所以此正四棱台的侧面积为；……………………………………6分（2）在，，，……………………………………………8分所以此正四棱台的体积为；…………………………………12分19．（本题满分12分）在四棱锥中，底面为正方形，为的重心．（1）设，若∥平面，求实数的值；（2）若平面，且，求异面直线与所成的角．【解析】（1）连接并延长交于，连接，，…………………………1分因为∥平面，所以∥，………………………………………………3分由为的重心，得，……………………………………………………5分从而，故；………………………………………………………………6分（2）分别在取线段的中点，连接，…………7分易证∥，∥， ………………………………………………………8分从而异面直线与所成的角为或其补角，……………………………9分设，易得，，………………………………………10分由平面，得，从而得，…………………………11分在中，，所以，故异面直线与所成的角为．………………………………………………12分20．（本题满分12分）如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，是线段，上的两个动点（不含端点），且，平面与平面相交于．（1）求证：∥；（2）为上一个动点，求平面与平面所成锐二面角的最小值．【解析】（1）证明：因为，所以∥，…………………………2分因为平面，平面，∥平面，…………………4分平面与平面相交于，平面，所以∥； …………6分（2）取中点，连接，，则平面，且，……………………7分过点作于，连接，则，所以为所求锐二面角的平面角，记为， ……8分所以，当最大时，最小，……9分因为，所以在以为直径的圆上，当与重合时，的最大值为1，……………11分所以，从而的最小值为．……12分21．（本题满分12分）如图甲，设正方形的边长为3，点分别在上，且满足，．将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上，如图乙所示．（1）证明：∥平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）在题图甲中，易知∥，从而在题图乙中有∥，……2分又∥，从而平面∥平面，…………………………………………4分因为平面，所以∥平面；……………………………………6分（2）如图（1），过点作于点，连接，因为平面，所以，又，所以平面，从而，所以为二面角的平面角．………………………………………8分在图（2）中有，又，所以三点共线，设的中点为，则，连接，可证，所以，则．易知，所以， ……………………10分， ……………………………………………………………11分在中，，即二面角的余弦值为． ………………………………………………12分22．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，若，，，且．（1）求证：平面平面；（2）若，试问在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由得，………………1分设，由余弦定理得，…………………………2分进一步化简得，从而，…………………………………3分取中点，因为，所以， ……………………………4分因为，所以，从而， ………5分由且得平面，又平面，平面平面．…………………………………6分（2）作，由（1）知，平面，从而平面平面，连接，作，易知平面，且∥，连接，则为直线与平面所成的角，……………………8分由题意知，设，从而，因为，所以在中，，……………………………………………………9分因为∥，所以，得，……………………………10分在中，由正弦定理得，，……………………………11分从而，所以，因此为线段中点．…………12分