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2021北京市第四十三中学高二下学期第一次月考数学试题含答案
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北京市第43中学2020-2021学年度高二4月月考数学试卷总分：150分 答题时间：90分钟 一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集 U=R，集合 A=x x2−x>0，那么集合 ∁UA= A. −∞,0∪1,+∞ B. −∞,0∪1,+∞ C. 0,1 D. 0,1 2. 已知复数 ，则复数 z 的虚部是 A. 25 B. 25i C. −25 D. −25i 3. 若 PA=34，PB∣A=12，则 PA∩B 等于 A. 23 B. 38 C. 13 D. 58 4. 已知等比数列 an 满足 a1=−1，a4=8，则 a7 等于 A. 32 B. −32 C. 64 D. −64 5. 在等差数列 an 中，若 a4+a5+a6=15，则 a2+a8= A. 6 B. 10 C. 7 D. 5 6. 等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0，若 a1，a2，a4 成等比数列，则 an 前 5 项的和为 A. 10 B. 15 C. 21 D. 28 7. 直线 y=kx+3 被圆 x−22+y−32=4 截得的弦长为 23，则 k= A. ±33 B. ±3 C. 33 D. 3 8. 如图，点 E 是正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，点 F，M 分别在线段 AC，BD1（不包含端点）上运动，则 A. 在点 F 的运动过程中，存在 EF∥BC1 B. 在点 M 的运动过程中，不存在 B1M⊥AE C. 四面体 EMAC 的体积为定值 D. 四面体 FA1C1B 的体积不为定值 二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A−1,−2，B3,−1，C5,6，则顶点 D 的坐标为 ． 10. 在 x−1x6 展开式中，常数项为 ．（用数值表示） 11. 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ． 12. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一个焦点是抛物线 y2=8x 的焦点，且双曲线 C 的离心率为 2，那么双曲线 C 的方程为 ． 13. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2−2n+1，则 a3= ． 14. 已知数列 ann∈N∗ 中，a1=1，an+1=an2an+1，则 an= ． 三、解答题（共6小题；共80分）15. 设 an 是等差数列，a1=−10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列． （1）. 求 an 的通项公式． （2）. 记 an 的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值． （3）. 记{ |an| }的前 n 项和为Tn ，求Tn 的表达式。 16. 已知等差数列 an 满足 a1+a2=10，a4−a3=2．（1）求 an 的通项公式．（2）设等比数列 bn 满足 b2=a3，b3=a7；问：b6 与数列 an 的第几项相等． 17. 已知 F1，F2 是椭圆 C:x24+y22=1 的左、右焦点．（1）求椭圆 C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆 C 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，l 与椭圆的另一个交点为 B，求 △F1F2B 的面积． 18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个小球，其中 3 个黑球，2 个白球．如果不放回的依次取出 2 个球．回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率． 19. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 5 个红球与编号分别为 1 、 2 、 3 、 4 的 4 个白球，从中任意取出 3 个球．（1）求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（2）求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率；（3）记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值，求 X 的分布列与数学期望． 20. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1 的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2． （1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角 B−CD−C1 的余弦值；（3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．答案第一部分1. D 2. C 【解析】z=1−i1+3i=1−i1−3i1+3i1−3i=1−3−4i10=−2−4i10=−1−2i5，所以 z 的虚部为 −25．3. B 【解析】由条件概率公式得 PA∩B=PA⋅PB∣A=38．4. D 【解析】因为 an 为等比数列，所以 a1a7=a42，即 −a7=64，所以 a7=−64．故选D．5. B 【解析】由题可知：a4+a5+a6=3a5=15⇒a5=5，又 a2+a8=2a5，所以 a2+a8=10．6. B 【解析】在等差数列 an 中，记公差为 d，因为 a1=1，且 a1，a2，a4 成等比数列，所以有 a1⋅a4=a22，即 1⋅1+3d=1+d2，解得 d=1 或 d=0（舍），所以 an=a1+n−1d=n，所以 S5=1+2+3+4+5=15．7. A 8. C 【解析】A选项：易知直线 BC1 与平面 AEC 相交，点 F 在线段 AC 上运动，且 AC 在平面 AEC 内，所以 EF⊂平面AEC，所以 BC1 与直线 EF 不可能平行，故A错误；B选项：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD−A1B1C1D1 边长为 2，则 A2,0,0，E0,0,1，B12,2,2，D10,0,2，B2,2,0，设 BM=λBD1，则 BM=λ−2,−2,2，所以 M2−2λ,2−2λ,2λ，则 B1M=−2λ,−2λ,2λ−2，又 AE=−2,0,1，且 B1M⊥AE，所以 AE⋅B1M=0，即 4λ+2λ−2=0，解得 λ=13，故在 BD1 上存在点 M，当 M 是 BD1 靠近 B 的三等分点时，B1M⊥AE，故B错误；C选项：因为 BD1∥平面AEC，且点 M 在线段 BD1 上运动，所以点 M 到平面 AEC 的距离为定值，又 △AEC 的面积为定值，所以四面体 EMAC 的体积为定值，故C正确；D选项：因为 AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1C1B，所以 AC∥平面A1C1B，点 F 在线段 AC 上运动，所以点 F 到平面 A1C1B 的距离为定值，又 △A1C1B 的面积为定值，所以四面体 FA1C1B 的体积为定值，故D错误．第二部分9. 1,5【解析】设 Dx,y，则由 AB=DC，得 4,1=5−x,6−y，即 4=5−x,1=6−y, 解得 x=1,y=5.10. −2011. 0.648【解析】该同学通过测试的概率 P=C32×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648．12. x2−y23=113. 3【解析】因为 S3=9−6+1=4，S2=4−4+1=1，所以 a3=S3−S2=4−1=3．14. 12n−1【解析】因为 an+1=an2an+1，所以 1an+1=1an+2，所以 1an+1−1an=2，故 1an 是以 1 为首项，2 为公差的的等差数列，所以 1an=1+2n−1=2n−1，所以 an=12n−1，填 12n−1．第三部分15 (1) 因为 an 是等差数列，a1=−10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列， 所以 a3+82=a2+10a4+6， 所以 −2+2d2=d−4+3d， 解得 d=2， 所以当 an=a1+n−1d=−10+2n−2=2n−12． (2) 由 a1=−10，d=2，得： Sn=−10n+nn−12×2=n2−11n=n−1122−1214. 所以 n=5 或 n=6 时，Sn 取最小值 −30． (3) 略 16. （1） 设公差为 d，首项为 a1，则 a1+a2=2a1+d=10,a4−a3=d=2, 解得 d=2,a1=4, 所以 an=a1+n−1d=2n+2，n∈N∗． （2） 设等比数列的公比为 q，首项为 b1，由（1）知，a3=8，a7=16，则 b2=b1q=8,b3=b1q2=16, 解得 q=2,b1=4, 所以 bn=b1qn−1=2n+1，b6=27=128， an=128 时，2n+2=128，得 n=63，所以 b6 与 an 的第 63 项相等．17. （1） 因为椭圆方程为 x24+y22=1，所以焦点坐标分别为 F1−2,0，F22,0，离心率 e=ca=22． （2） 椭圆 C 的左顶点为 A−2,0，直线 l 的方程为 y=x+2，由 y=x+2,x24+y22=1, 消去 y，整理可得：3x2+8x+4=0，解这个方程得 x1=−2，x2=−23，所以点 B 坐标为 −23,43，所以 S△F1F2B=12⋅F1F2⋅43=12×22×43=423．18. （1） 依题意，设事件 A 表示“第一次取出的是黑球”，设事件 B 表示“第二次取出的是白球”．黑球有 3 个，球的总数为 5 个，所以 PA=35． （2） 第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为 PAB=35×24=310． （3） 在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为 PB∣A=PABPA=31035=12．19. （1） 设"取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数"为事件 A，则PA=3+2C93=584.因此，取出的 3 个球的编号恰好是 3 个连续的整数，且颜色相同的概率为 584． （2） 设"取出的 3 个球中恰有两个球编号相同"为事件 B，则PB=C41C71C93=13.因此，取出的 3 个球中恰有两个球编号相同的概率为 13． （3） X 的取值为 2，3，4，5，则PX=2=C21C22+C22C21C93=121,PX=3=C21C42+C22C41C93=421,PX=4=C21C62+C22C61C93=37,PX=5=C11C82C93=13.从而 X 的分布列为X2345P1214213713因此，X 的数学期望为EX=2×121+3×421+4×37+5×13=8521.20. （1） 由题意可知：因为 CC1⊥面ABC，E，F 分别为 AC，A1C1 的中点．所以 EF∥CC1，所以 EF⊥面ABC，因为 AC⊂面ABC，所以 EF⊥AC，又因为 AB=BC，E 为中点．所以 BE⊥AC，BE∩EF=E，所以 AC⊥面BEF． （2） 由题意可知，以 E 为坐标原点，分别以 EA，EB，EF 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系． E0,0,0，A1,0,0，C−1,0,0，B0,2,0，A1,0,2，C1−1,0,2，D1,0,1，B10,2,2．易知 BE⊥面ACC1A1，所以设面 CC1D 的法向量为 m=0,1,0，设面 BCD 的法向量为 n=x,y,z， BC=−1,−2,0，CD=2,0,1， n⋅BC=0,n⋅CD=0, −x−2y=0,2x+z=0, 令 x=2，n=2,−1,−4．记二面角 B−CD−C1 的平面角为 θ，可知 θ 为钝角． cosθ=m⋅nmn=2121，所以 cosθ=−2121． （3） G0,2,1，F0,0,2，FG=0,2,−1，由（2）可知面 BCD 的法向量为 n=2,−1,−4，所以记 FG 与面 BCD 所成的角为 α，则 sinα=FG⋅nFGn=∣−2∣5⋅21=2105105，所以 FG 与面 BCD 相交．
北京市第43中学2020-2021学年度高二4月月考数学试卷总分：150分 答题时间：90分钟 一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集 U=R，集合 A=x x2−x>0，那么集合 ∁UA= A. −∞,0∪1,+∞ B. −∞,0∪1,+∞ C. 0,1 D. 0,1 2. 已知复数 ，则复数 z 的虚部是 A. 25 B. 25i C. −25 D. −25i 3. 若 PA=34，PB∣A=12，则 PA∩B 等于 A. 23 B. 38 C. 13 D. 58 4. 已知等比数列 an 满足 a1=−1，a4=8，则 a7 等于 A. 32 B. −32 C. 64 D. −64 5. 在等差数列 an 中，若 a4+a5+a6=15，则 a2+a8= A. 6 B. 10 C. 7 D. 5 6. 等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0，若 a1，a2，a4 成等比数列，则 an 前 5 项的和为 A. 10 B. 15 C. 21 D. 28 7. 直线 y=kx+3 被圆 x−22+y−32=4 截得的弦长为 23，则 k= A. ±33 B. ±3 C. 33 D. 3 8. 如图，点 E 是正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，点 F，M 分别在线段 AC，BD1（不包含端点）上运动，则 A. 在点 F 的运动过程中，存在 EF∥BC1 B. 在点 M 的运动过程中，不存在 B1M⊥AE C. 四面体 EMAC 的体积为定值 D. 四面体 FA1C1B 的体积不为定值 二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A−1,−2，B3,−1，C5,6，则顶点 D 的坐标为 ． 10. 在 x−1x6 展开式中，常数项为 ．（用数值表示） 11. 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ． 12. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一个焦点是抛物线 y2=8x 的焦点，且双曲线 C 的离心率为 2，那么双曲线 C 的方程为 ． 13. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2−2n+1，则 a3= ． 14. 已知数列 ann∈N∗ 中，a1=1，an+1=an2an+1，则 an= ． 三、解答题（共6小题；共80分）15. 设 an 是等差数列，a1=−10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列． （1）. 求 an 的通项公式． （2）. 记 an 的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值． （3）. 记{ |an| }的前 n 项和为Tn ，求Tn 的表达式。 16. 已知等差数列 an 满足 a1+a2=10，a4−a3=2．（1）求 an 的通项公式．（2）设等比数列 bn 满足 b2=a3，b3=a7；问：b6 与数列 an 的第几项相等． 17. 已知 F1，F2 是椭圆 C:x24+y22=1 的左、右焦点．（1）求椭圆 C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆 C 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，l 与椭圆的另一个交点为 B，求 △F1F2B 的面积． 18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个小球，其中 3 个黑球，2 个白球．如果不放回的依次取出 2 个球．回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率． 19. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 5 个红球与编号分别为 1 、 2 、 3 、 4 的 4 个白球，从中任意取出 3 个球．（1）求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（2）求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率；（3）记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值，求 X 的分布列与数学期望． 20. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1 的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2． （1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角 B−CD−C1 的余弦值；（3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．答案第一部分1. D 2. C 【解析】z=1−i1+3i=1−i1−3i1+3i1−3i=1−3−4i10=−2−4i10=−1−2i5，所以 z 的虚部为 −25．3. B 【解析】由条件概率公式得 PA∩B=PA⋅PB∣A=38．4. D 【解析】因为 an 为等比数列，所以 a1a7=a42，即 −a7=64，所以 a7=−64．故选D．5. B 【解析】由题可知：a4+a5+a6=3a5=15⇒a5=5，又 a2+a8=2a5，所以 a2+a8=10．6. B 【解析】在等差数列 an 中，记公差为 d，因为 a1=1，且 a1，a2，a4 成等比数列，所以有 a1⋅a4=a22，即 1⋅1+3d=1+d2，解得 d=1 或 d=0（舍），所以 an=a1+n−1d=n，所以 S5=1+2+3+4+5=15．7. A 8. C 【解析】A选项：易知直线 BC1 与平面 AEC 相交，点 F 在线段 AC 上运动，且 AC 在平面 AEC 内，所以 EF⊂平面AEC，所以 BC1 与直线 EF 不可能平行，故A错误；B选项：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD−A1B1C1D1 边长为 2，则 A2,0,0，E0,0,1，B12,2,2，D10,0,2，B2,2,0，设 BM=λBD1，则 BM=λ−2,−2,2，所以 M2−2λ,2−2λ,2λ，则 B1M=−2λ,−2λ,2λ−2，又 AE=−2,0,1，且 B1M⊥AE，所以 AE⋅B1M=0，即 4λ+2λ−2=0，解得 λ=13，故在 BD1 上存在点 M，当 M 是 BD1 靠近 B 的三等分点时，B1M⊥AE，故B错误；C选项：因为 BD1∥平面AEC，且点 M 在线段 BD1 上运动，所以点 M 到平面 AEC 的距离为定值，又 △AEC 的面积为定值，所以四面体 EMAC 的体积为定值，故C正确；D选项：因为 AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1C1B，所以 AC∥平面A1C1B，点 F 在线段 AC 上运动，所以点 F 到平面 A1C1B 的距离为定值，又 △A1C1B 的面积为定值，所以四面体 FA1C1B 的体积为定值，故D错误．第二部分9. 1,5【解析】设 Dx,y，则由 AB=DC，得 4,1=5−x,6−y，即 4=5−x,1=6−y, 解得 x=1,y=5.10. −2011. 0.648【解析】该同学通过测试的概率 P=C32×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648．12. x2−y23=113. 3【解析】因为 S3=9−6+1=4，S2=4−4+1=1，所以 a3=S3−S2=4−1=3．14. 12n−1【解析】因为 an+1=an2an+1，所以 1an+1=1an+2，所以 1an+1−1an=2，故 1an 是以 1 为首项，2 为公差的的等差数列，所以 1an=1+2n−1=2n−1，所以 an=12n−1，填 12n−1．第三部分15 (1) 因为 an 是等差数列，a1=−10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列， 所以 a3+82=a2+10a4+6， 所以 −2+2d2=d−4+3d， 解得 d=2， 所以当 an=a1+n−1d=−10+2n−2=2n−12． (2) 由 a1=−10，d=2，得： Sn=−10n+nn−12×2=n2−11n=n−1122−1214. 所以 n=5 或 n=6 时，Sn 取最小值 −30． (3) 略 16. （1） 设公差为 d，首项为 a1，则 a1+a2=2a1+d=10,a4−a3=d=2, 解得 d=2,a1=4, 所以 an=a1+n−1d=2n+2，n∈N∗． （2） 设等比数列的公比为 q，首项为 b1，由（1）知，a3=8，a7=16，则 b2=b1q=8,b3=b1q2=16, 解得 q=2,b1=4, 所以 bn=b1qn−1=2n+1，b6=27=128， an=128 时，2n+2=128，得 n=63，所以 b6 与 an 的第 63 项相等．17. （1） 因为椭圆方程为 x24+y22=1，所以焦点坐标分别为 F1−2,0，F22,0，离心率 e=ca=22． （2） 椭圆 C 的左顶点为 A−2,0，直线 l 的方程为 y=x+2，由 y=x+2,x24+y22=1, 消去 y，整理可得：3x2+8x+4=0，解这个方程得 x1=−2，x2=−23，所以点 B 坐标为 −23,43，所以 S△F1F2B=12⋅F1F2⋅43=12×22×43=423．18. （1） 依题意，设事件 A 表示“第一次取出的是黑球”，设事件 B 表示“第二次取出的是白球”．黑球有 3 个，球的总数为 5 个，所以 PA=35． （2） 第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为 PAB=35×24=310． （3） 在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为 PB∣A=PABPA=31035=12．19. （1） 设"取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数"为事件 A，则PA=3+2C93=584.因此，取出的 3 个球的编号恰好是 3 个连续的整数，且颜色相同的概率为 584． （2） 设"取出的 3 个球中恰有两个球编号相同"为事件 B，则PB=C41C71C93=13.因此，取出的 3 个球中恰有两个球编号相同的概率为 13． （3） X 的取值为 2，3，4，5，则PX=2=C21C22+C22C21C93=121,PX=3=C21C42+C22C41C93=421,PX=4=C21C62+C22C61C93=37,PX=5=C11C82C93=13.从而 X 的分布列为X2345P1214213713因此，X 的数学期望为EX=2×121+3×421+4×37+5×13=8521.20. （1） 由题意可知：因为 CC1⊥面ABC，E，F 分别为 AC，A1C1 的中点．所以 EF∥CC1，所以 EF⊥面ABC，因为 AC⊂面ABC，所以 EF⊥AC，又因为 AB=BC，E 为中点．所以 BE⊥AC，BE∩EF=E，所以 AC⊥面BEF． （2） 由题意可知，以 E 为坐标原点，分别以 EA，EB，EF 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系． E0,0,0，A1,0,0，C−1,0,0，B0,2,0，A1,0,2，C1−1,0,2，D1,0,1，B10,2,2．易知 BE⊥面ACC1A1，所以设面 CC1D 的法向量为 m=0,1,0，设面 BCD 的法向量为 n=x,y,z， BC=−1,−2,0，CD=2,0,1， n⋅BC=0,n⋅CD=0, −x−2y=0,2x+z=0, 令 x=2，n=2,−1,−4．记二面角 B−CD−C1 的平面角为 θ，可知 θ 为钝角． cosθ=m⋅nmn=2121，所以 cosθ=−2121． （3） G0,2,1，F0,0,2，FG=0,2,−1，由（2）可知面 BCD 的法向量为 n=2,−1,−4，所以记 FG 与面 BCD 所成的角为 α，则 sinα=FG⋅nFGn=∣−2∣5⋅21=2105105，所以 FG 与面 BCD 相交．
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