2021赣县三中高二下学期期中适应性考试数学（理）试卷含答案

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2020-2021学年下学期高二期中适应性考数学（理科）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设为虚数单位，复数满足，则　　A．1 B． C．2 D．2．利用反证法证明：若，则，假设为(　　)A．都不为0 B．不都为0C．都不为0，且 D．至少有一个为03．已知函数在处取得极值10，则（ ）A．或 B．或 C． D．4．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形的边，，，的中点，用表示，则（ ）A． B．C． D．5．函数的图像大致为 (　　)A． B． ．D．6．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图)，若某建筑准备采用半椭球面设计(如图)，半椭球面方程为，该建筑设计图纸的比例(长度比)为(单位：)，则该建筑的占地面积为（ ）A． B． C． D．7．已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．8．如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A． B． C． D．9．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．10．如图在底圆半径和高均为的圆锥中，、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）．A． B．1 C． D．11．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．12．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ）A． B． C． D．二、填空题13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________14．____．15．已知直线是曲线的一条切线，则的取值范围是_________.16．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，且与交于，两点，若（是坐标原点），则______.三、解答题17．观察下列等式：．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．18．已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.（1）求抛物线的方程;（2）直线过点交抛物线于两点，过点作抛物线的切线与准线交于点，求面积的最小值.20．如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．（1）证明：平面平面；（2）若，，且二面角所成角的余弦值为，试求该几何体的体积．21．椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.22．设，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅱ）如果对于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年下学期高二期中适应性考数学（理科）参考答案1．B2．B3．D4．A5．B6．D7．D8．A9．C10．A如图所示，过点做，垂足为．∵是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为，∴．∴．在平面内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为，为抛物线的焦点．，所以，解得，即，，，该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为，11．D设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.12．A因为四面体是棱长为1的正四面体，所以其体积为.设正四面体内切球的半径为，则，得.如图，取的中点为，则.显然，当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得.因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.13．A 14． 15． 16．217．（1）；，；（2）解析（1）第5个等式为．第个等式为，．（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．②假设时，命题成立，即，则当时，，即时等式成立．根据①和②，可知对任意等式都成立．18．(1) .(2) .详解：（1）当时， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为函数在上是减函数，所以在上恒成立. 做法一：令,有，得故.实数的取值范围为 做法二：即在上恒成立，则在上恒成立， 令，显然在上单调递减，则，得实数的取值范围为 19．（1）；（2）4.因为是上的点，所以，化简得，解得或.因为所以抛物线的方程为.依题意可知，，直线的斜率存在，故设直线的方程为:，联立，消去可得.设，则.所以由，得，所以过A点的切线方程为又所以切线方程可化为准线为可得，所以点，所以点到直线的距离，所以，当时，等号成立,所以面积的最小值为.20．（1）见解析；（2）8(1)是圆的直径， ，又平面又平面，且，平面， 又平面，平面平面 .（2）设，以所在直线分别为轴，轴，轴，如图所示，则，，，，由（1）可得，平面，平面的一个法向量是，设为平面的一个法向量，由条件得，，， 即 不妨令，则，，，，， 得 ，.21．（1）；（2）证明见解析，.（1），设左焦点，∴，解得，，，由，∴椭圆方程为.（2）由（1）可知椭圆右顶点，设，，∵以为直径的圆过，∴即，∴，∵，，∴①联立直线与椭圆方程：，整理得∴，，∴，，代入到，∴，∴，即，∴或，当时，：，∴恒过当时，：，∴恒过，但为椭圆右顶点，不符题意，故舍去，∴恒过.22．（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).详解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=∴满足的最大整数M为4；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥1