2021鹤壁高中高二下学期第一次段考数学（理）试题含答案

   鹤壁市高中2022届高二下学期第一次段考

理数试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．       B．       C．       D．

2．设复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．在等比数列中，，，则（    ）

A．45 B．54 C．99 D．81

4．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，，若，则（    ）

A．0或 B．或 C．           D．

7．已知向量与互相垂直，则的最小值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

8．下面程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为272，153，则输出的（    ）

A．15 B．17 C．27 D．34

9．年月日，第六届世界互联网大会发布项“世界互联网领先科技成果”，有项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端芯片“思元”赛灵思“自适应计算加速平台”．若从这项“世界互联网领先科技成果”中任选项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知、、，且，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，直线过点且与直线交于点，（为坐标原点），则的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

12．已知函数的图象经过点，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知变量，满足约束条件，则的最大值为______.

14．若二项式的展开式中的常数项为，则       ．

15．设，，，为球的球面上的四个点，满足，.若四面体的表面积为，则球的表面积为______.

16．在数列中，，，且当时，，若是数列的前项和，，则当为整数时，      ．

三、解答题：本大题共6大题，共70分．

17．（12分）已知的三个内角，，对应的边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）如图，设为内一点，，，且，求的最大值．

18．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

19．（12分）近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国2015-2019年高铁运营里程的数据如下表所示.

（1）求关于的线性回归方程；

（2）每一年与前一年的高铁运营里程之差即为该年新增的里程，若用2016-2019年每年新增里程的频率代替之后每年新增相应里程的概率，求2023年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率.

附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

20．（12分）已知椭圆经过点，且离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率.

21．（12分）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若对于任意的都成立，求的最大值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为，.

（1）若，求；

（2）设点，求的最小值.

23．（10分）已知，.

（1）若恒成立，求的值；

（2）在（1）的条件下，若正数，满足，求的最小值.

一、选择题

1.【详解】因为，故当时，，当时，，当时，，

所以，所以，故选：C.

2.【详解】由得，所以则的虚部为.故选：C

3.【详解】设数列的公比为，因为，所以，所以.

故选C

4.【详解】当时，，所以为奇函数，排除D；当时，，排除BC，故选：A.

5.【详解】因为双曲线的焦距为4，

所以，则，则该双曲线的渐近线方程为.故选：B.

6.【详解】，，

，即，，.故选：D.

7.【详解】解：∵，∴，∴.

∴，当且仅当或时等号成立，

∴.故选：A．

8.【详解】因为输入的分别为272，153，

第一次循环，m=153，n=119，

第二次循环，m=119，n=34，

第三次循环，m=34，n=17，

第四次循环，m=17， 故选：B

9.【解析】由已知得，这项“世界互联网领先科技成果”中有项成果属于芯片领域．

记“从这项‘世界互联网领先科技成果’中任选项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件，则为“选出的项都不属于‘芯片领域’”，

因为，所以．故选A.

10.【详解】，得；由，得.

从而可得.故选：D.

11.【解析】由题意直线过点，则，

因为，所以直线与关于直线对称，

则点关于的对称点在直线上，

则，解得，因此双曲线的离心率为.故选：A.

12.【解析】由已知得，即，解得，故，

所以，

易知函数的零点个数，即的图象与直线的交点个数，所以设，则．

记，显然为该函数的一个零点，即，

又恒成立，故函数在上单调递增，

所以函数在上只有一个零点．

当时，，即，所以函数单调递减；

当时，，即，所以函数单调递增，

所以的最小值为．

如图，作出函数的图象以及直线，

因为函数的图象与直线有四个不同的交点，

所以数形结合可知，解得．

故选:B.

二、填空题

13.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

易得，，，

 由，得，平移直线（图中虚线），

当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，目标函数有最大值，

此时最大值为.故答案为：4.

14.【详解】二项展开式的通项公式为，

令，解得，故，所以，故，

又，所以．

15.【详解】由题意知，是等边三角形，，是等腰三角形，.所以，

即，所以，则的中点到，，，四点的距离均为，所以球的表面积为.

故答案为：．

16.【详解】当时，由，得，

又，所以数列从第二项起是首项为，公比为的等比数列，

则，，所以．

当时，，，不符合题意，

因为时，，

所以当时，，

则，

因为是整数，所以是的因数，所以为，，或，

易知当且仅当时，是整数，此时，．

三、解答题

17.【解析】（1）∵，∴，

∴，

∴，

∴，易知，∴，

又，∴．

（2）由（1）与，得，

在中，由余弦定理，

得，

又在中，

，

∴(当且仅当AC=BC时取等“=”)所以的最大值为．

18.【解析】（1）易知四边形为直角梯形，则由，，

得，

又，，所以，即，

又平面平面，平面，

所以平面，所以，

又，，所以平面．

（2）由（1）知平面，所以平面，

又，故以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则，，，，

故，，．

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，得，令，则，，故；

由，得，令，则，，故，

于是，

易知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值等于．

19.【解析】（1）由表格中的数据，可得，

，

，

，

所以，则，

所以关于的线性回归方程为.

（2）设每年新增高铁运营里程为万千米，由条件知的分布列为

若2023年中国高铁运营里程小于5万千米，

则2020-2023年每年新增的高铁运营里程有三种情况：

，，.

相应概率为.

故2023年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率：

20.【解析】（1）因为在椭圆上，所以，

又，，由上述方程联立可得，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，

设，，

由消得：，

所以，因为，所以，

同理可得，因为，，

所以

.

21.【解析】（1）当时，，得，

则，，所以在处的切线方程为：.

（2）当且时，

由于，

构造函数，

得在上恒成立，所以在上单调递增，

，

由于对任意的都成立，

又，，再结合的单调性知道：

对于任意的都成立，即对于任意的都成立.

令，得，由，由，

则在上单调递减，在上单调递增，

故，故，所以的最大值为.

22.【解析】（1）由曲线的极坐标方程得，

化为直角坐标方程为，即.

将直线的参数方程代入其中，得

.

当时，上述方程即，解得，，

所以.

（2）由根与系数的关系可知：

，，

所以，

其中，当时取等号，所以的最小值为.

23.【解析】（1）因为，

，所以.

（2）设，，则，

则

，

当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.