2021衡水武邑武罗学校高二上学期期中考试数学试题含答案

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2020-2021学年度上学期高二期中考试试题（数学）一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.1-8是单选，9-12是多选，全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2.在等差数列{an}中,a5+a13=40,则a8+a9+a10= (　　)A.72 B.60 C.48 D.363.已知△ABC中，a=4,b=4,A=30°,则B等于( )A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°4.在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为( )A．150° B．30° C．120° D．60°5已知等差数列{an}的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为 (　　)A.10 B.20 C.30 D.406.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )7.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的 (　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则a7b7= (　　)A.9310 B.172 C.14317 D.159.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则q= (　　)A.2 B.2 C.-2 D.-210.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是 (　　)A.若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形11.已知函数f(n)=n2(当n为奇数时),-n2(当n为偶数时),且an=f(n)+f(n+1),则an等于 (　　)A.-(2n+1) B.2n-1 C.2n+1 D.1-2n12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是 (　　)A.01C.Sn的最大值为S9 D.Tn的最大值为T7二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.一题两空的，第一个空2分，第二个空3分请把正确答案填在题中横线上)13在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b－c=a，2sin B=3sin C，则cos A的值为_________.14.已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是_________.15在等比数列{an}中,若a1=12,a4=-4, |a1|+|a2|+…+|an|=________. 16.已知△ABC中,A=π4,cos B=35,AC=8.则△ABC的面积为________;AB边上的中线CD的长为________. 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列{an}的公差d不为0,a1=3,且a2,a4,a7成等比数列.(1)求{an}的通项公式.(2)求a2+a4+a6+…+a2n.18.(12分)在等差数列{an}中，a1+a2=7，a3=8.令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn．(1)求数列{an}的通项公式.(2)求数列{bn}的前n项和Tn. 19（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos A=.（1）求sin C和b的值.（2）求cos（2A+）的值.20（12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若 a=3c, b=2, cos B=23,求c的值.(2)若sinAa=cosB2b,求sinB+π2的值21.(12分)已知数列{an}满足a1=12,an+1=an2an+1. (1)求证:数列1an是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=12nan,求数列{bn}的前n项和Sn.22（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA+C2=bsin A.(1)求B.(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.2020-2021学年度上学期高二期中考试试题（数学）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.1-8是单选，9-12是多选，全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【解析】选B.由题意有，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．2.在等差数列{an}中,a5+a13=40,则a8+a9+a10= (　　)A.72 B.60 C.48 D.36【解析】选B.根据等差数列的性质可知:a5+a13=40⇒2a9=40⇒a9=20,a8+a9+a10=2a9+a9=3a9=60.3.已知△ABC中，a=4,b=4,A=30°,则B等于( )A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°【解析】选D.根据正弦定理得又a＜b所以B=60°或120°.4.在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为( )A．150° B．30° C．120° D．60°【解析】选A.由正弦定理可得b2－c2－a2＝ac，由余弦定理可得cos B＝. 故B为150°.5已知等差数列{an}的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为 (　　)A.10 B.20 C.30 D.40【解析】选B.设等差数列{an}的项数为n,前n项和为Sn,则S偶-S奇=n2d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为20.6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )【解析】选C.由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6①.由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab②.所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝.7.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的 (　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】选D.由题意可得,当n=1时,a1=S1=1+1=2.当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1,经过验证后当n=1时不符合上式,所以前n项和Sn=n2+1不能推出an=2n-1,反之,an=2n-1也不能推出Sn=n2+1.故数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的既不充分又不必要条件.8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则a7b7= (　　)A.9310 B.172 C.14317 D.15【解析】选B.因为a7b7=2a72b7=a1+a13b1+b13=13(a1+a13)213(b1+b13)2=A13B13=7×13+4513+3=172.9.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则q= (　　)A.2 B.2 C.-2 D.-2【解析】选AC.因为数列{an}是等比数列,所以a2a3a4=a33=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,所以q=2或-2.10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是 (　　)A.若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形【解析】选AC.由acosA=bcosB=ccosC,利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,即tan A=tan B=tan C,A=B=C,△ABC是等边三角形,A正确;由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B⇒sin 2A=sin 2B,2A=2B或2A+2B=π,△ABC是等腰或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin B+C=sin B,sin A=sin B,则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab>0,角C为锐角,角A,B不一定是锐角,D不正确,故选AC.11.已知函数f(n)=n2(当n为奇数时),-n2(当n为偶数时),且an=f(n)+f(n+1),则an等于 (　　)A.-(2n+1) B.2n-1 C.2n+1 D.1-2n【解析】选AC.当n为奇数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1)当n为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是 (　　)A.01C.Sn的最大值为S9 D.Tn的最大值为T7【解析】选AD.因为a1>1,a7·a8>1,a7-1a8-1<0,所以a7>1,a8<1,所以01,01,a8<1,所以T7是Tn的最大值,故D正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.一题两空的，第一个空2分，第二个空3分请把正确答案填在题中横线上)13在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b－c=a，2sin B=3sin C，则cos A的值为_________.【解析】因为2sin B=3sin C，所以2b=3c，解得b=，a=2c.所以cos A=.答案：－14.已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是_________.【解析】因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0对于任意的正整数n恒成立，即λ＞－2n－1对于任意的正整数n恒成立，所以λ＞－3.答案：λ＞-315在等比数列{an}中,若a1=12,a4=-4, |a1|+|a2|+…+|an|=________. 【解析】本题主要考查了等比数列的通项及其求和.依题意a1=12,a4=-4,则12·q3=-4,所以q3=-8,所以q=-2.所以an=12(-2)n-1,所以|an|=2n-2.所以|a1|+|a2|+…+|an|=12(1-2n)1-2=2n-1-12.答案:　2n-1-1216.已知△ABC中,A=π4,cos B=35,AC=8.则△ABC的面积为________;AB边上的中线CD的长为________. 【解析】因为cos B=35,且B∈(0,π),所以sin B=1-cos 2B=45.所以sin C=sin (π-A-B)=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=22×35+22×45=7210,在△ABC中,由正弦定理得ACsinB=ABsinC,即845=AB7210,解得AB=72,所以△ABC的面积为S=12AB·AC·sin A=12×72×8×22=28.在△ACD中,AD=722, 所以由余弦定理得CD2=82+7222-2×8×722×22=652,所以CD=1302.答案:28　1302四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列{an}的公差d不为0,a1=3,且a2,a4,a7成等比数列.(1)求{an}的通项公式. (2)求a2+a4+a6+…+a2n.【解析】(1)因为a2,a4,a7成等比数列,所以a42=a2a7,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+6d),化简得(a1-3d)d=0,因为公差d≠0,所以a1=3d,因为a1=3,所以d=1,所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)知a2n=2n+2,故{a2n}是首项为4、公差为2的等差数列,所以a2+a4+a6+…+a2n=n(a2+a2n)2=n(4+2n+2)2=n2+3n.18.(12分)在等差数列{an}中，a1+a2=7，a3=8.令bn=，数列{bn}的前n项和Tn．(1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由得解得a1=2，d=3,所以an=2+3(n-1)=3n-1.(2)因为所以Tn=b1+b2+…+bn 19（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos A=.（1）求sin C和b的值.（2）求cos（2A+）的值.【解析】（1）在中，由又由.20（12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=2,cos B=23,求c的值.(2)若sinAa=cosB2b,求sinB+π2的值.【解析】(1)因为a=3c,b=2,cos B=23,由cos B=a2+c2-b22ac,得23=(3c)2+c2-(2)22×3c×c,即c2=13.所以c=33.(2)因为sinAa=cosB2b,由正弦定理asinA=bsinB,得cosB2b=sinBb,所以cos B=2sin B.从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45.因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=255.因此sinB+π2=cos B=255.21.(12分)已知数列{an}满足a1=12,an+1=an2an+1. (1)求证:数列1an是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=12nan,求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1=an2an+1,且可知an≠0,所以1an+1-1an=2,所以数列1an是等差数列.所以1an=1a1+2(n-1)=2n,即an=12n.(2)因为bn=2n2n=n2n-1,所以Sn=b1+b2+…+bn=1+22+322+…+n2n-1,则12Sn=12+222+323+…+n2n,两式相减得12Sn=1+12+122+123+…+12n-1-n2n=2-n+22n,所以Sn=4-n+22n-1.22（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA+C2=bsin A.(1)求B.(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180°,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB2≠0,故sinB2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°-C)sinC=32tanC+12.由于△ABC为锐角三角形,故0°