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2021阳泉高二上学期期末考试数学（理科）试题含答案
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阳泉市2020—2021学年度第一学期期末考试试题试题高二理科数学（选修2-1）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）1.命题p：x∈R，x2＋1>3x，则p是A.x∈R，x2＋1≤3x B.x∈R，x2＋1≥3xC.x∈R，x2＋1≤3x D.x∈R，x2＋1≥3x2．对于空间向量，，若，则实数（ ）A． B． C． D．3． “”是“”的( )条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（ ）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆5．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ）A． B． C． D．6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为.或 .或 .或 .或 7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有，则的值是( )A．1 B．0 C．3 D．8. 已知双曲线，两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）A. 或 B. C. D. 9．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为A． B． C． D．10．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.12．设，，是空间的标准正交基，，，则与的关系是 ．13.写出命题“若且，则”的逆否命题：________．14.已知，，若，则实数的值为________．15．已知双曲线的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为______．16．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.17．已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．18．已知下列几个命题：①的两个顶点为，，周长为18，则C点轨迹方程为；②“”是“”的必要不充分条件；③已知命题，，则为真，为假，为假；④双曲线的离心率为．其中正确的命题的序号为_____．(选全得5分，选不全得2分，有错选得0分)三、解答题（本大题共7个小题，共52分．）19.（满分8分）已知a,b,c是△ABC的三条边，证明：△ABC是等边三角形的充要条件是．20.（满分8分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线y=x-4与轨迹C相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．21.（满分8分）如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．（1）用，，表示；（2）求的长．22．（本小题满分10分）已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.23.（满分12分）如图，四边形正方形，平面，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 高二理科数学参考答案和评分标准一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11． 12．垂直 13．若，则或 14.215． 16． 17.（﹣∞，） 18．③④三、解答题（本大题共7个小题，共52分．）19．20.（1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2．∴轨迹C的方程为y2＝4x．（2）证明：设l1的方程为y＝x﹣4，代入抛物线方程，整理可得x2﹣12x+16＝0，设，，则x1+x2＝12，x1x2＝16.∵y1y2＝(x1﹣4)(x2-4)=-16∴x1x2 + y1y2=0,∴OA⊥OB.21．（1）根据向量的三角形法则得到．（2）∵，∴，即的长为．22．（1）由题意可知，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，由题意得两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是线段的中点，所以，，所以.所以直线的方程为，即．23.（1）证明：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，依题意有，则，所以，即，故平面.又平面，所以平面平面.………………………………………………………………6分（2）解：由（1）有，设是平面的法向量，则即，取，则，.设平面的法向量为，则即，取，则，，所以，故平面和平面所成锐二面角的余弦值为..……………………………12分 题号12345678910答案CDBCCADADB
阳泉市2020—2021学年度第一学期期末考试试题试题高二理科数学（选修2-1）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）1.命题p：x∈R，x2＋1>3x，则p是A.x∈R，x2＋1≤3x B.x∈R，x2＋1≥3xC.x∈R，x2＋1≤3x D.x∈R，x2＋1≥3x2．对于空间向量，，若，则实数（ ）A． B． C． D．3． “”是“”的( )条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（ ）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆5．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ）A． B． C． D．6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为.或 .或 .或 .或 7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有，则的值是( )A．1 B．0 C．3 D．8. 已知双曲线，两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）A. 或 B. C. D. 9．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为A． B． C． D．10．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.12．设，，是空间的标准正交基，，，则与的关系是 ．13.写出命题“若且，则”的逆否命题：________．14.已知，，若，则实数的值为________．15．已知双曲线的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为______．16．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.17．已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．18．已知下列几个命题：①的两个顶点为，，周长为18，则C点轨迹方程为；②“”是“”的必要不充分条件；③已知命题，，则为真，为假，为假；④双曲线的离心率为．其中正确的命题的序号为_____．(选全得5分，选不全得2分，有错选得0分)三、解答题（本大题共7个小题，共52分．）19.（满分8分）已知a,b,c是△ABC的三条边，证明：△ABC是等边三角形的充要条件是．20.（满分8分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线y=x-4与轨迹C相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．21.（满分8分）如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．（1）用，，表示；（2）求的长．22．（本小题满分10分）已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.23.（满分12分）如图，四边形正方形，平面，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 高二理科数学参考答案和评分标准一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11． 12．垂直 13．若，则或 14.215． 16． 17.（﹣∞，） 18．③④三、解答题（本大题共7个小题，共52分．）19．20.（1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2．∴轨迹C的方程为y2＝4x．（2）证明：设l1的方程为y＝x﹣4，代入抛物线方程，整理可得x2﹣12x+16＝0，设，，则x1+x2＝12，x1x2＝16.∵y1y2＝(x1﹣4)(x2-4)=-16∴x1x2 + y1y2=0,∴OA⊥OB.21．（1）根据向量的三角形法则得到．（2）∵，∴，即的长为．22．（1）由题意可知，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，由题意得两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是线段的中点，所以，，所以.所以直线的方程为，即．23.（1）证明：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，依题意有，则，所以，即，故平面.又平面，所以平面平面.………………………………………………………………6分（2）解：由（1）有，设是平面的法向量，则即，取，则，.设平面的法向量为，则即，取，则，，所以，故平面和平面所成锐二面角的余弦值为..……………………………12分 题号12345678910答案CDBCCADADB
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