2021乐山高二上学期期末考试数学理科试题含答案

机密★启用前（考试时间：2021年1月27日上午8：00-10：00）

乐山市高中2022届期末教学质量检测

理科数学

（本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“如果，那么”的逆否命题是（    ）

A．如果，那么      B．如果，那么

C．如果，那么      D．如果，那么

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（    ）

A．圆锥      B．圆柱      C．球      D．棱柱

3．圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A．，9      B．，3      C．，3      D．，9

4．设是两个平面，则充要条件是（    ）

A．无数条直线与平行      B．内有两条相交直线与平行

C．，平行同一条直线      D．，垂直于同一个平面

5．如图，在直三棱柱中，若，则（    ）

A．      B．      C．      D．

6．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，的中点为M．若．则点M的横坐标为（    ）

A．2      B．3      C．4      D．5

7．如图，已知长方体中，．则与所成角的余弦值为（    ）

A．      B．      C．      D．

8．已知椭圆C：的一个焦点为，则C的离心率为（    ）

A．      B．      C．      D．

9．与圆内切，且与圆外切的圆的圆心在（    ）

A．一个椭圆上      B．双曲线的一支上      C．一条抛物线上      D．一个圆上

10．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为（    ）

A．      B．      C．      D．

11．如图是某几何体的三视图，网络纸上的正方形的边长为1，则该几何体的体积为（    ）

A．      B．      C．      D．

12．在直四棱柱中底面四边形为菱形，，，，E为中点，过点E且和平面垂直的平面为，平面，则直线和平面所成角的正弦值为（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．

13．命题“，a有一个正因数”的否定是__________．

14．方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为___________．

15．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥的体积是_________．

16．已知点，点、分别为双曲线C：的左、右焦点，当点在双曲线C上且满足，则_________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（本小题满分10分）

如图，正方体中，E、F分别是、的中点．

求证：、、三线共点．

18．（本小题满分12分）

经过点作直线l交双曲线于A、B两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．

19．（本小题满分12分）

如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求异面直线与所成的角；

20．（本小题满分12分）

已知抛物线，直线l过点且与抛物线C相交于A、B两点，O是坐标原点．

（1）求证：点O在以为直径的圆上；

（2）若的面积为8，求直线l的斜率．

21．（本小题满分12分）

如图，四边形为菱形，O为与的交点，平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值；

（3）若，三棱锥的体积为，求三棱锥的侧面积．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆，点在C上，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E．证明：直线与x轴交于定点Q；

（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围．

乐山市高中2022届期末教学质量检测

理科数学参考答案及评分意见

2021.1

一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）．

1．C  2．D  3．C  4．B  5．D  6．B  7．A  8．C  9．B  10．A  11．C  12．D

二、填空题（每小题5分，4小题，共计20分）

13．没有正因数；  14．且；  15．10  16．2

三、解答题（6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

证明：连结、、，

由题可知，               1分

∵E、F分别是、的中点，

∴，且，

∴，且，              3分

∴为梯形．                  4分

则可令．

由面，面，           6分

∴面面           8分

∴、、共点于P．得证．               10分

18．（本小题满分12分）

解：令，

由，

知M为的中点．             2分

令，即．           4分

将代入双曲线方程中，得．

①                   7分

∴，解得．             9分

当时，方程①为．

∵该方程根的判别式，

∴方程①有实数解．             11分

∴直线l的方程为．                12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）证明：取的中点为Q，连结、，

∵N是的中点，

∴且．          2色

又∵是平行四边形，

∴．                    3分

又∵M是的中点，

∴且．         4分

∴为平行四边形．

∴．

∵面，且面，

∴面．                                6分

（2）由（1）可知即为与所成的角．               7分

∵．

Q为的中点，∴．                9分

∴，

∴．                 12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）令l的方程为，

，              1分

由，消去x得，              3分

则．           4分

∵

，              5分

∴．

即点O在以为直径的圆上．             7分

（2）由题知，，

∴

             9分

                 11分

∴．

∴直线l的斜率为．              12分

21．（本小题满分12分）

解析：（1）证明：∵四边形为菱形，

∴．                 1分

又∵平面，∴．               2分

∴平面．

又∵平面，

∴平面平面．                  3分

（2）由（1）知，令．

∵，∴，

∴．

∴．               4分

∴．                  5分

令B到平面的距离为h，与平面成的角为．

∴，得

，                 6分

∴．∴．                7分

（3）设，

∴．              8分

∵在中，可得，               9分

由平面，知为，

∴．

∵

，

∴．∴．              11分

∴，

∴三棱锥的侧面积为．                  12分

22．（本小题满分12分）

解：（1）由题知：               1分

，∴，

∴椭圆C的方程为．         3分

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由，

得．①            4分

设点，则，

直线的方程为．

令，得．          5分

将代入并整理得．②              7分

由①得，代入②式整理得．

∴直线与x轴相交于定点．                  8分

（3）当过点Q的直线的斜率存在时，设直线的方程为，且在椭圆C上．由，

得．            9分

易知．

∴．

．

∵，∴，

∴．               11分

当过点Q的直线的斜率不存在时，

其方程，

解得，

此时．

所以的取值范围是．                12分