2021宁波九校高二上学期期末联考数学试题扫描版含答案

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2020学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线的渐近线方程是（ ）A． B． C． D．2．若复数z满足，则z的虚部是（ ）A． B． C．1 D．63．已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（ ）A． B． C． D．4．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）① ② ③ ④A．①② B．①④ C．②③ D．②④6．已知为空间四面体，P为底面上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．7．设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（ ）A．25 B．100 C．9 D．369．如图，在棱长为1的正方体中，点M是底面正方形的中心，点P是底面所在平面内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹为（ ）A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆10．已知椭圆C的方程为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点P和M，若，则椭圆C的离心率为（ ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共7题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．11．复数，则_______，__________．12．（1）方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为______；（2）若双曲线C：的焦点坐标为，则实数a的值为__________．13．已知某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为________，体积为________．14．已知过点，且斜率为k的动直线l与抛物线相交于B，C两点，则k的取值范围为_________；若N为抛物线C上一动点，M为线段中点，则点M的轨迹方程为____________．15．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是________．16．若平面向量，为单位向量，，空间向量满足，，，则对任意的实数，的最小值是___________．17．已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l过定点________．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知命题p：若复数z满足，则复数z在复平面上对应点的轨迹为椭圆．命题q：函数在上存在零点．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．19．（本题满分15分）在三棱锥中，平面，，，点M在线段上，且．（1）试在线段上找一点N，使平面，并说明理由；（2）试求直线与平面所成角的正弦值．20．（本题满分15分）设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为．为抛物线的焦点弦，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点．（1）求p的值；（2）连接，，，分别将其斜率记为，试问是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．（本题满分15分）在中，，以为边在平面内作如图所示的等边，E为边上一点，且，F为线段上的点，现沿将折起，使A点到达位置，且点在平面内的射影恰为E点．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值．22．在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，A为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线与椭圆C的另一交点为P，直线与椭圆C的另一交点为Q．（1）若，求直线的斜率；（2）设与的面积分别为，求的最大值．宁波市2020学年第一学期期末九校联考高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求．二、填空题：本大题共7题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．11．； 12．或； 13．36；12 14．或； 15． 16．6 17．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：（1）由题意得，z在复平面对应轨迹为椭圆 6分（2）命题q真：时，， 9分由命题p，q中有且只有一个真命题，得p与q一真一假．若p真q假，则得； 11分若p假q真，则，得． 13∴ 14分19．解：（1）作上靠近P点的三等分点N 2分∵M是上三等分点∴ 4分且平面 5分∴平行于平面 6分（2）法一：取中点记为∵平面 ∴又∵为等腰∴∴平面 9分∴为A点在平面上投影∴即为所求线面角 11分在中，，，∴ 13分∴ 15分法二：如图所示建系，设，，，，，，，， 9分设平面法向量为， 12分． 15分20．解：（1）由抛物线定义得，点A到准线的距离等于 4分∴， 5分（2）设，，，已知，则，， 7分联立直线与抛物线方程 9分，，；① 11分 13分将①式代入，可得所以，为一定值． 15分21．解：（1）由题意得，在平面内射影恰为E点，则平面设，且折痕又∵∴．∴为的角平分线∴为等边 2分∴，F恰为边中点 4分连接，交于点H，H恰为边中∵为等边∴又∵∴平面∴ 6分（2）如图所示，建立空间直角坐标系，， 8分， 10分设平面法向量为，平面法向量为 12分∴ 14分∴二面角的平面角的余弦值为 15分22．解：（1）设直线的方程为联立直线与椭圆方程即， 1分联立直线与圆方程即， 4分由得， 5分即解得，因为，所以． 6分（2）由M与N关于原点对称，可得N点坐标．，，， 8分所以．同理可得，，则有 12分 14分当，即时取得等号，所以得最大值为． 15分题号12345678910答案BDACCBDADB