2021江西省高安中学高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

这是一份2021江西省高安中学高二上学期期末考试数学（理）试题含答案
江西省高安中学2020-2021学年度上学期期末考试高二年级数学（理科）试题命题人： 审题人：选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共12题，每小题5分，共60分）1．是虚数单位，复数满足，则（ ）A． B． C． D．2．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系（ ）A． B．或 C．与相交但不垂直 D．3．命题“对，”的否定为（ ）A．， B．，C．， D．，4．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）A．12 B．81 C．64 D．24 5．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A． B． C． D．6．由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（ ）A． B． C． D．7．若，则（ ）A． B． C． D．8．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于A,B两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）A． B． C． D．9．已知整数的数对列如下:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第20个数对是（ ）A．（3，3） B．（4，2） C．（4，3） D．（5，2）10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ）A． B． C． D．11．已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．12．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有_____________种(用数字作答).14．在正方体中，点E是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是_____________.15．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为_____________.16．若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为_____________.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）已知命题：和命题：（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．（本题满分12分）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知实数，均为正数，求证：.（2）已知，都是正数，并且，求证：.20.（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点．（1）求证；（2）求二面角的余弦值．21．（本题满分12分）如图，已知点是轴下方（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足，，其中为常数，且、两点均在上，弦的中点为．（1）若点坐标为，时，求弦所在的直线方程；（2）若直线交抛物线于点，求证：线段与的比为定值，并求出该定值．22．（本题满分12分）已知，函数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．其中…为自然对数的底数．江西省高安中学2020-2021学年度上学期期末考试高二年级数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题24 14． 15． 16．三、解答题17．【详解】不等式即，解得，不等式即，解得，则命题：，命题：，（1）当时，命题：，命题：，若和都是真命题，则； 5分（2）因为是的充分不必要条件，所以，所以且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为. 5分18.【详解】（1）），，又，曲线在点处的切线方程为，即； 6分（2）的定义域为，且，令，得；令，得，函数在上单调递减,． 6分19．【详解】（1），又因为，，所以，，由基本不等式得，，当且仅当时，取等号，即时取等号，所以. 6分（2） 因为，都是正数，所以，又，所以，所以，所以，即. 6分20．【详解】（1）设交点为,连接，是边长为2的菱形，是的中点，，又平面,平面 ，，平面，平面， 4分 （2）是等边三角形，又是等边三角形，，又平面，以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图:则，，设平面的法向量，则,,令，得，所以，又平面,是平面的一个法向量，，二面角的余弦值为. 12分21．【详解】（1）设，，由，，可得，，由点在上可得：，化简得：，同理可得：，∵、两点不同，不妨设，，∴弦所在的直线方程为． 6分（2）设，，，由，得，代入，化简得：， 同理可得：，显然，∴、是方程的两个不同的根，∴，，∴，即直线的方程为，∵，，∴，，所以线段与的比为∴线段与的比为定值． 12分22．【详解】（1）由题意，函数定义域为，可得，当时，，单调递增，因为，又由，，所以函数在上有唯一的零点，综上可得，函数在上有唯一零点. 4分（2）由（1）可得且，由，令，所以，设，则，可得，所以单调递增，又由，即，函数单调递增，所以，所以，即，又因为，则构造函数，可得，所以函数在单调递减，且，所以且，所以，即，从而，综上所述，.123456789101112DBCBBBCADDCB