2021新蔡县高二上学期调研考试数学（理）试题含答案

2020—2021学年度上期高中调研考试二年级理数试题

时间：120分钟 分值：150分 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

1.设命题:,,则为(    )

A. ,                B. ,

C. ,              D. ,

2．若且，则下列不等式成立的是(    )

A． B． C． D．

3．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面节的容积共12升，则第5节的容积为（   ）升。

A．2 B．3 C．4 D．5

4.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件  D. 既不充分也不必要条件

5．曲线方程的化简结果为（    ）

A． B． C． D．

6.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

7.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）

A. 1或13 B. 1 C. 13 D. 1或12

8.给出如下四个命题：

①若“且”为假命题，则均为假命题；

②命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题；

③若是的必要条件，则是的充分条件；

④在中，“”是“”充要条件.

其中正确的命题的个数是（  ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9.圆的半径为6，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ）

A.     B.    C.    D.

10.已知，等于（  ）

A. 1 B. -1 C. 3 D. 6

11.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面；

其中恒成立的为（    ）

A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③

12.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为,,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是(    )

A.       B.    C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.抛物线的准线方程是________

14.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为     ．

15．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围________

16.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，邪所在直线与平面 所成角的大小为________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.(本小题满分10分)

已知命题p：直线y＝x＋m与焦点在x轴上的椭圆无公共点，命题q：方程表示双曲线。

(1)若命题p是真命题，求实数m的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围。

18.(本小题满分12分)

求满足下列各条件的椭圆的标准方程。

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；

(2)过点(，-)，且与椭圆有相同焦点。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，，, E是PD的中点．

(1)证明：直线∥平面；

(2)求二面角的余弦值．

20(本小题满分12分)

新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为300万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价120元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

21(本小题满分12分)

如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22.(本小题满分12分)

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2。

(1)求抛物线C的方程；

(2)若点P(－4，0)，问x轴上是否存在点T，使得过点T的任一条直线与抛物线C交于点M，N两点，且点T到直线MP，NP的距离相等？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。

2020—2021学年度上期高中调研考试二年级理数答案

一．选择题：

1【答案】D

【详解】因为命题:，，

所以，，故选：D

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.

2．【答案】D

【详解】选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；

选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；

选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；

选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.

3．【答案】B

【详解】设此等差数列为，公差，由题意可得：，

4【答案】D

【解析】

当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.

考点：等比数列

5．【答案】D

【详解】由椭圆定义得2a=10，a=5，又c=4，方程为

6【答案】D

【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选D.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

7【答案】C

【解析】由双曲线定义得，

由双曲线性质知， ,故选选C考点：双曲线的标准方程和定义．

故选C

8【答案】B

【解析】

①：若“且”为假命题，则中至少有一个假命题，故①错误；

②：若只有一个零点,则当时,只有一个零点,或当时即,故只有一个零点,有或,故②不正确;

③若是的必要条件，则q是p的充分条件，因为若,所以若是的必要条件，则是的充分条件；故③正确；

④：充分性：中，若，则a>b，根据正弦定理，可得到 ，反之也成立，故④项正确.

故选B.

9【答案】B

数形结合利用垂直平分线的定义得到动点到定点、的距离之和为定值4（大于两定点间的距离，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程．

【详解】解：如图，直线为线段的垂直平分线，

连接，由线段垂直平分线的性质得：，

而半径，且、两点为定点，

，

由椭圆定义得：点轨迹是以、两点为焦点的椭圆，且，，

，，，椭圆方程为：，

故选：B

【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．

10【答案】D

【详解】因为，所以.

故选D

【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.

11【答案】C

【解析】

分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

详解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．

对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

对于（3），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．

对于（4），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．

故选：C．

点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.

12【答案】C

【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，

，，，是以为底边的等腰三角形，若，

则，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，

即有，，

根据三角形三边关系可得，即，所以，根据离心率公式可得，因为，所以，则有，

所以的取值范围为.故选：C

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系

二．填空题

13【答案】

【详解】抛物线方程可化为：    抛物线准线方程为：

故答案为

14【答案】

【解析】设A，B，则①，②，

∵M是线段AB的中点，∴，①②两式相减可得，即．

考点：椭圆的简单性质

15【答案】

【详解】由得，解得，

设．由得，解得，设．

∵是的必要不充分条件，∴是的必要不充分条件，∴，即，∴，解得.  ∴实数的取值范围为．

16【答案】   

【详解】过点作，垂足为，延长，使得（如图）

.

由题意可得，则

由题意知，所以，所以.因为 平面，所以，又，所以 平面 ，则 是直线 与平面 所成角的平面角， ，所以

故答案为： 

【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、【解析】

（1）∵椭圆的焦点在轴上，∴，    ……2分

又∵直线与椭圆无公共点，

由得，

由，得或，结合，可得，

即命题是真命题，实数的取值范围为           ……5分

（2）方程表示双曲线，

∴，解得或，       ……8分

又∵是的充分不必要条件，

是的真子集，

即或，解得或，

所以实数的取值范围或.           ……10分

18【解析】

(1)若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)

∵长轴是短轴的3倍∴a=3b

又∵椭圆经过点A(3，0)∴，得到a=3

∴b=1，所以                    ……2分

 若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)

∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b

又∵椭圆经过点A(3，0)∴，得到b=3，

∴a=9∴                              ……5分

所以椭圆的标准方程为。或.            ……6分

(2）椭圆的焦点为(0，4)

设该椭圆方程为(a>b>0)，因此   ①        ……8分

∵椭圆过(，-)，(a>b>0)   ②                 ……10分

联立①②式，解得a2=20，b2=4.因此该椭圆方程为.        12分

19.解：(1)取的中点，连，

是的中点,

，         ………………………………2分

又

四边形是平行四边形…………………………4分

∥

又平面，平面………………5分

∥平面            ………………………6分

(2)在平面内作于，不妨令，则

由是等边三角形，则，为的中点，

分别以、所在的直线为轴和轴，以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系，       ………………………………7分

则，，，

，，………8分

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则    则……9分

  则…………10分

…………11分

经检验，二面角的余弦值的大小为. ………………………………12分

20【解析】

（1）当时，

；                    ……2分

当时，，   ……4分

∴，                                ……6分

（2）当时，，

∴当时，取最大值，最大值为1500万元；                       ……18分

当时，，

当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1750万元．        ……11分

综上，当产量为100万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1750万元． ……12分

21.（1）由题意，因为，，，∴，

又∴，∴，

∵侧面，∴.

又∵，，平面

∴直线平面.        ……5分

（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，……6分

设平面的一个法向量为，，，

∵，∴，令，则，∴…8分

假设存在点，设，∵，，

∴，∴∴

设平面的一个法向量为，                  ……10分

∴，得.

即，∴或，∴或.  ……12分

22、【解析】

（1）设，,则,，

因为线段的中点的纵坐标为2，则，

两式相减得，

所以，即抛物线的方程为                ……4分

（2）假设存在这样的点满足条件，设为，

因为点到直线、的距离相等，所以为的角平分线，

则，可得，                   ……5分

显然直线的斜率不能为零，故设直线的方程为，

设，,

由联立得，

则有，          …7分

得，

即，

化简整理得， ……10分

即，

得，

即对于任意的恒成立，所以，且此时满足，

所以在轴上存在使得点到直线、的距离相等.……12分