2021运城景胜中学高二上学期12月月考数学（理）试题含答案

这是一份2021运城景胜中学高二上学期12月月考数学（理）试题含答案，共23页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题p:∃x0，那么¬p是( )
A.∀x≥0，x2≤0B.∃x≥0，x2≤0C.∀x0,b>0的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若|F1A|=5b，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A.1,2B.2,32C.2,3D.32,3
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 已知p:∀x∈R,x2+mx+1>0，若¬p为假命题，则实数m的取值范围是________.

14. 已知直线y=2x−2与抛物线y2=8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则FA→⋅FB→的值为________.

15. 已知四棱柱ABCD−A1BC1D1的底面ABCD是矩形，AB=5，AD=3，AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=60∘，则AC1=________.

16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若kOD+kOE+kOF=−8（点O为坐标原点，且kOD，kOE，kOF均不为零），则1kAB+1kBC+1kAC=________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）
17.(10分)已知p：关于x方程x2+2x+14m2=0有两个不相等的实根；q：方程y23+x2m=1表示焦点在y轴上的椭圆．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
18.(12分) 已知命题p：实数x满足x2−4ax+3a20，命题q：实数x满足x2−x−6≤0，x2+2x−8>0.
(1)若a=1，且命题p和命题q均为真命题，求实数x的范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的范围．

19.(12分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，CD⊥AD，△PAD是等腰直角三角形，PD=PA=1.

(1)证明：PD⊥PB；

(2)若PB与平面PAD所成角的大小为60∘，CD=2AB，求点C到平面PBD的距离．

20.(12分) 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB=2AD=4，∠DAB=60∘，AD⊥D1D.

(1)证明：AD⊥BD1；
(2)若D1D=D1B=2，求二面角A−BC−B1的正弦值．

21.(12分) 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=63，并且经过定点P32,12.
(1)求曲线E的方程；
(2)直线l：y=kx+2交椭圆E于不同的A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值．

22.(12分) 已知圆M：x−12+y2=14，动圆N与圆M相外切，且与直线x=−12相切．
(1)求动圆圆心N的轨迹C的方程；
(2)已知点P−12,−12，Q1,2，过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A，B（与Q点不重合），直线QA，QB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
参考答案与试题解析
景胜中学2020年12月高二月考数学理试卷
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
C
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题.
已知命题p:∃x0，
那么¬p是：∀xb>0)，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为：xc+yb=1，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，
可得：11c2+1b2=b2，
∴ 4=b2(1c2+1b2)，
∴ b2c2=3，
∴ a2−c2c2=3，
∴ e=ca=12．
故选C．
4.
【答案】
A
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系得：
A(0,−1,0)，B(0,1,0)，S(0,0,3)，C32,−12,0，
设SA→，BC→的夹角为θ，
又SA→=(0,−1,−3)，BC→=32,−32,0，
则csθ=SA→⋅BC→|SA→||BC→|=34，
即SA与BC所成角的余弦值为34.
故选A．
5.
【答案】
B
【解答】
解：A，B={x|−1≤x≤1}与集合A相等，
“x∈B”是“x∈A”的充分必要条件.
故选项A错误.
B，B={x|−1