2021肥东县高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题含答案

2020-2021学年高二年级第一学期期中考试

数 学（理）试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.直线与直线（）相互垂直，当成等差数列时，直线与轴围成的三角形的面积（   ）

A.                                             B.                              C.                                   D.

2.若圆的面积被直线（， ）平分，则的最大值是（   ）

A.                           B.                             C.                                D.

3.若执行下面的程序框图，则输出的值是（   ）

A．        B．        C．       D．

4.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（   ）

A. 事件“”的概率为                           B. 事件“是奇数”与“”互为对立事件

C. 事件“”与“”互为互斥事件         D. 事件“”的概率为

5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，图2是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级， 一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（    ）

①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个

②第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

③8月是空气质量最好的一个月

④6月份的空气质量最差

A. ①②③                           B. ①②④                 C. ①③④                      D. ②③④

6.设定点、，动点满足，则点的轨迹是（    ）

A. 椭圆    B. 线段    C. 不存在    D. 椭圆或线段

7.设命题， ，则为（   ）

A. ，     B. ，

C. ，     D. ，

8.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为,则椭圆的离心率的概率是( )

A.                                   B.                                 C.                                  D.

9.已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）

A.                 B.               C.              D.

10.设为椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为（   ）

A.2                  B.3                  C.4                  D.5

11.如图，设椭圆（）的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（       ）

A.                                       B.                                C.                                D.

12.下列结论错误的是（   ）

A．命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题

B．命题（是自然对数的底数），命题，则为真

C．“”是“”成立的必要不充分条件

D．若为假命题，则均为假命题

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13.若圆被直线截得的弦长为，则__________．

14.袋中有个大小相同的球,其中标号为的有个,标号为的有个.现从袋中任取一球, 表示所取球的标号.若,则的值为_____.

15.椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为        ．

16.下列命题中，假命题的序号有__________．

（1）“”是“函数为偶函数”的充要条件；

（2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件；

（3）若，则；

（4）若，则.

三、解答题(共6小题 ,共70分)

17.已知直线， .

（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；

（2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系.

18. （10分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：

（1）求关于的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，当价格元时，日需求量的预测值为多少？

参考公式：线性归回方程： ，其中 ，

19.（12分）已知， ．

（1）若是从区间上任取的一个实数， ，求满足的概率．

（2）若、都是从区间上任取的一个实数，求满足的概率．

20. （12分）设命题，命题：关于不等式的解集为.

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题或是真命题， 且是假命题，求实数的取值范围.

21. （12分）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，且，求的值.

22. （12分）已知圆恰好经过椭圆的两个焦点和两个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆于两点， 轴，垂足为，连接并延长交椭圆于，证明：以线段为直径的圆经过点.

参考答案

1. A   2.B    3.C   4.D   5.A    6.D   7.C   8.C   9.C   10.C   11.B     12.C

13.     14.    15.     16.（2）（3）

17.（1）或；（2）或

【解析】（1）联立解得即与的交点为（021，-9）.

当直线过原点时，直线的方程为；

当直线不过原点时，设的方程为，将（-21，-9）代入得，

所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或.

（2）设原点到直线的距离为，

则，解得： 或，

当时，直线的方程为，此时；

当时，直线的方程为，此时.

18.（1）所求线性回归方程为  

（2）价格元/ kg时，日需求量的预测值为kg

【解析】（1）依据题设运用平均数公式分别算出,  

,然后再算出, 及 .进而求出. 代入回归方程求出.  最终求出线性回归方程为.（2）依据（1）的结论直接将代入回归方程求得, ，即当价格元/ kg时，日需求量的预测值为kg.

解: (1)由所给数据计算得

,  

, 

,

.

.

.      

所求线性回归方程为. 

(2)由(1)知当时,      

故当价格元/ kg时，日需求量的预测值为kg.

19.（1）（2）

【解析】（1）由知，

所以，

因为，即所有基本事件构成的线段长度为7.

设“满足”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的线段长度为3，

由几何概型概率公式得

.

所以满足的概率为．

（2）由知，

得，

因为， ，故所有基本事件构成的平面区域的面积为为16.

设“满足”为事件B，则事件B包含的基本事件构成的区域的面积为，

由几何概型概率公式得。

所以满足的概率为．

20.（1）当为真时， ；（2）的取值范围是。

【解析】（1）当为真时，

∵不等式的解集为，

∴当时， 恒成立.

∴，∴

∴当为真时，

（2）当为真时，

∵，∴当为真时， ；

当为真时， ，

由题设，命题或是真命题， 且是假命题，

真假可得，

假真可得或

综上可得或

则的取值范围是.

21.（1）（2）

【解析】（1）设点的坐标为，

则，

所以，即，

所以的方程为，.

（2）由（1）知为圆心是，半径是的圆，

设到直线的距离为，则，

因为，

所以，

由点到直线的距离公式得，

解得.

22. 【解析】（1）由题意可知， ， ，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：设直线的斜率为， ，在直线的方程为，

.

直线的斜率为，所以直线的方程为，

联立得，

记横坐标分別为.由韦达定理知: ,

所以，于是，

所以直线的斜率为，

因为.所以，

所以以线段为直径的圆一定经过点.