2021滁州定远县重点中学高二10月月考数学（文）试题含答案

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2020-2021学年度第一学期10月考试高二数学（文）试题一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是(　　)A． 50,0.15 B． 50,0.75 C． 100,0.15 D． 100,0.752.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则x，y的值分别为(　　)A． 5,7 B． 6,8 C． 6,9 D． 8,83.已知底面为正方形，侧棱相等的四棱锥S－ABCD的直观图和正视图如图所示，则其侧视图的面积为(　　)A． B． C． 2 D． 24.已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′5.如图，已知曲线C1：y＝，曲线C2和C3是半径相等且圆心在x轴上的半圆.在曲线C1与x轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为(　　)A． B． C． D．6.已知直线y＝x＋b在x轴上的截距在[－2,3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是(　　)A． B． C． D．7.如图，圆周上的6个点是该圆周的6个等分点，分别连接AC，CE，EA，BD，DF，FB，向圆内部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是(　　)A． 1－ B． C． 1－ D．8.运行下面的程序，当输入n＝123和m＝288时，输出结果是(　　)A． 2 B． 3 C． 4 D． 79.在空间中，α表示平面，m，n表示两条直线，则下列命题中错误的是(　　)A． 若m∥α，m，n不平行，则n与α不平行B． 若m∥α，m，n不垂直，则n与α不垂直C． 若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直D． 若m⊥α，m，n不垂直，则n与α不平行10.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°11.已知直线(1＋k)x＋y－k－2＝0恒过点P，则点P关于直线x－y－2＝0的对称点的坐标是(　　)A． (3，－2) B． (2，－3) C． (1，－3) D． (3，－1)12.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D为45°时，AE等于(　　)A． 1 B． C． 2－ D． 2－二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.14.设直线l过点A(2,4)，它被平行线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截的线段的中点在直线x＋2y－3＝0上，则l的方程是________．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下面结论：①AC∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④AD1与BD为异面直线.其中正确的结论的序号是________.16.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程中的＝x＋中的≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为________．三、解答题(共6小题,共70分) 17.（10分）通过市场调查，得到某种产品的资金投入x万元与获得的利润y万元的数据，如表所示：(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归方程；(2)现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？(参考公式：＝，＝－)18.（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.19.（12分）已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B，(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．20.（12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．21.（12分）已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点．(1)求公共弦AB的长；(2)求圆心在直线y＝－x上，且过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．22.（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．答案解析CBACB AABAC DD1.【答案】C【解析】由已知得第二小组的频率是1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频数为40，设共有参赛学生x人，则x×0.4＝40，∴x＝100.成绩优秀的概率为0.15，故选C.2.【答案】B【解析】∵甲组数据的中位数为106，∴x＝6.又∵乙组数据的平均数为105.4，∴＝105.4，解得y＝8.综上，x，y的值分别为6,8.故选B.3.【答案】A【解析】由题意，侧视图与正视图是全等的三角形，面积为×2×＝.4.【答案】C【解析】由(1,0)，(2,2)求b′，a′.b′＝＝2，a′＝0－2×1＝－2.求，时，iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，＝，＝，＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴＝＝，＝－×＝－＝－，∴＜b′，＞a′.5.【答案】B【解析】曲线C1：y＝是圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方的一半，面积为π.C2，C3是以为半径的半圆，所以阴影部分的面积为π2＝，所以所取的点来自阴影部分的概率为P＝＝.故选B.6.【答案】A【解析】由题意知b∈[－3,2]，所以P(截距b大于1)＝＝.7.【答案】A【解析】设圆的半径为1，则正六边形ABCDEF的边长为1，其面积为，如图将整个正六边形割成了3×6＝18个小三角形，那么整个阴影部分的面积是正六边形的面积的＝，故S阴影＝×＝，圆的面积为S圆＝π.故向圆内部随机投掷一点，该点不落在阴影部分内的概率是1－.故选A.8.【答案】B【解析】由辗转相除法可得．9.【答案】A【解析】对于A，若m∥α，m，n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，故不正确．故选A.10.【答案】C【解析】如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°.11.【答案】D【解析】由直线(1＋k)x＋y－k－2＝0化为k(x－1)＋(x＋y－2)＝0，令解得于是此直线恒过点P(1,1)．设点P关于直线x－y－2＝0的对称点为P′(m，n)，则解得∴P′(3，－1)．故选D.12.【答案】D【解析】过点D作DF⊥CE于点F，连接PF，因为PD⊥平面ABCD，所以DF是PF在平面ABCD内的投影，因为DF⊥CE，所以PF⊥CE，可得∠PFD为二面角P－EC－D的平面角，即∠PFD＝45°.在Rt△PDF中，PD＝DF＝1，因为在矩形ABCD中，△EBC∽△CFD，所以＝，得EC＝＝2.在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE＝＝，所以AE＝AB－BE＝2－，故选D.13.【答案】4±【解析】圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以()2＋12＝22，解得a＝4±.14.【答案】3x－y－2＝0【解析】到平行线x－y＋1＝0与x－y－1＝0距离相等的直线方程为x－y＝0.联立方程组解得∴直线l被平行线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截的线段的中点为(1,1)．∴直线l的两点式方程为，即3x－y－2＝0.16.【答案】46【解析】由表格得(，)为(10,38)，又(，)在线性回归方程＝x＋上且≈－2，∴38＝10×(－2)＋，解得＝58，∴＝－2x＋58.当x＝6时，＝－2×6＋58＝46.17.【答案】(1)＝＝4，＝＝5.＝＝＝1.7，＝－＝5－1.7×4＝－1.8，所以线性回归方程为＝1.7x－1.8.(2)当x＝10万元时，＝1.7×10－1.8＝15.2(万元)．18.证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.19.解　(1)∵点P(6,4)，∴kOP＝.又∵OP⊥AB，∴kAB＝－.∵AB过点P(6,4)，∴直线AB的方程为y－4＝－(x－6)，化为一般式可得3x＋2y－26＝0.(2)设点A(a,4a)，a>0，点B的坐标为(b,0)，b>0，当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6，此时△OAB的面积S＝×6×24＝72.当直线AB的斜率存在时，有＝，解得b＝，故点B的坐标为，故△OAB的面积S＝··4a＝，即10a2－Sa＋S＝0.①由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，故S的最小值为40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2.综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10,0)．20.解　(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.21.【答案】(1)由两圆方程相减即得x－2y＋4＝0，此为公共弦AB所在的直线方程．圆心C1(－1，－1)，半径r1＝.C1到直线AB的距离为d＝＝，故公共弦长|AB|＝2＝2.(2)圆心C2(1，－5)，过C1，C2的直线方程为＝，即2x＋y＋3＝0.由得所求圆的圆心为(－3,3)．它到AB的距离为d＝＝，∴所求圆的半径为＝，∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.(3)过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，由得圆心(－2,1)，半径r＝.∴所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.22.【答案】(1)证明　设G为AD的中点，连接PG，BG，BD，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，又因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)解　当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB⊂平面PGB，EF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.